* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

187 ОРУДИЯ И ОРУДИЙНОЕ ПРОИЗВОДСТВО 188 отсюда видно, что полиномы (7) образуют ортогональную систему ф-ий в промежутке (—a, -fa) по отношению к характеристичес­ кой ф-ии р(у) = —-— • Очевидно полиномы Чебышева образуют и нормальную систему ф-ий. Условие ортогональности ф-ий (С) я ются полиномами Якоби (гипергеометриче­ скими). Из определения полиномов Якоби ур-ием (10) следует: +1 J ( l + xf~l -1 - ж)/*-* IJa, р, ж) 1 (а, р, x)dx = О я J sin тх sin пх dx = 0 при о тфп подстановкой y = cosx Г,,с , ^ представится так: , ^ J -1 s i n т arc cos у s i n п arc cos у " s i n a r c cos у & s i n arc cos у _ Q & при тФп, откуда видно, что полиномы Яко­ би образуют ортогональную систему ф-ий в промежутке (—1, + 1 ) по отношению к ха­ рактеристич. ф-ии р(ж) - (1 + ху-1 ху- . Полагая а=р=1, получаем из 1 (а,р,х) по­ линомы Лежандра Р„(ж) (см&. Лежандра по­ линомы), удовлетворяющие ур-иям 1 п (l-a^g-Jkg + n(n + l),,-0; откуда видно, что ф-ии вида / ч s i n h a r c cos Wl. (X) — Съ • : Г Л x - 4 J K s i n arc cos x являются ортогональными в промежутке (-1,-4-1) по отношению к характеристичес­ кой ф-ии р(х) = Vl - х и нормальными. Возьмем линейное однородное ур-ие: ( l - ^ + [ a - 0 - ( a + /J)a]g + + п (п - 1 + a + Р) у = 0, (8) где а и Р—любые положительные постоянные, а п—целое число. Введем полином I„(a, р, х) м-й степени, коэф-ты к-рого а , а , а за­ висят от параметров а и /5: I (а, р, х) = х + с^ж"" + ... + о _ ! ж + а . Определим эти п коэф-тов при помощи ур-ий: 2 х 2 и п 1 n я я следовательно эти полиномы удовлетворя­ ют условию ортогональности в промежутке ( - 1 , + 1 ) с характеристич. ф-иейр(ж) = 1. Тригонометрич. полиномы Чебышева Могут быть получены из ур-ия (8) при a=p= /. . Ортогональные функции играют большую роль в вопросе разложения в ряды интегра­ лов обыкновенных диференциальных ур-ий математич. физики. В . А. Стеклов ввел новые ф-ии, названные им ф у н д а м е н т а л ь ­ н ы м и, и выполнил это разложение по ор­ тогонально-фундаментальным функциям. 1 i Jр(х) 1 (а, 0, х) dx=0 п -1 -1 J р(ж) I (a, j8, ж) ж dx = О -1 Н JVfaD 4 ( > ) ж аж = О 1 n О) а ж 2 -1 J p O ) In («, А -1 Ж) Ж"" 1 СЖ * 5-1 =О тде р(х) = (1 + ж)" (1 — ж)/ . Умножая к а ж ­ дое из уравнений (9) на произвольные по­ стоянные и складывая, получаем ур-ие -1 Лит.: С т е к л о в В . А . , Основные задачи матема­ т и ч . ф и з и к и , ч . 1—2, П . , 1922—23; Г а г а е в Б . M . , К теории суммируемых ортогональных рядов, «Изв. Ф и з . - м а т . о б - в а » , К а з а н ь , 1927—28; С т е к л о в В . А . » К теории замкнутости систем ортогональных функций, з а в и с я щ и х от к а к о г о у г о д н о ч и с л а п е р е м е н н ы х , « И з в . и м п . А к а д е м и и н а у к » , С П Б , 1911, в ы п . 10; Н а а г А . , Z u r T h e o r i e d . orthogonalen F u n k t i o n s y s t e m e , «Mat h e m . A n n a l e n » , В . , 1910, p. 69; S z e g о G . , B e i t r a g e zur T h e o r i e d.toeplitzschen F o r m e n , « M a t h e m . Z t s c h r . » , В . , 1920, B . 6, 1921, В . 9; В о с h n е г S . , U b e r orthogonalc S y s t e m e a n a l y t i s c h e r F u n k t i o n e n , i b i d . , 1922, B . 14; В e r g m a n n S t . , U b e r die E n t w i c k l u n g d e r h a r m o n i s c h e n F u n k t i o n e n d. E b e n e u . d . R a u m e s n a c h Orthogonalfunktionen, « M a t h e m . Annalen*, B e r l i n , 1922, p . 86; S z e g o G-., E n t w i c k l u n g einer w i l l k u r l i c h e n F u n k t i o n n a c h d. P o l y n o m e n eines Orthogonalsystems, « M a t h e m . Z t s c h r . » , B e r l i n , 1922, B . 12; S z e g o G-., U b e r d. a s y m p t o t i s c h e n A u s d r u c k v o n P o l y n o m e n , d i e d u r c h eine Orthogonalitatseigenschaft definiert sind,. « M a t h e m . A n n a l e n » , B e r l i n , 1&922, p . 86; S z e g o G . , U b e r orthogonale P o l y n o m e , die z u einer K u r v e d . k o m p l e x e n E b e n e gehoren, « M a t h e m . Z t s c h r . * , 1921, 9; W a l s h J . L . , A P r o p e r t y of H a a r & s S y s t e m of O r ­ thogonal F u n c t i o n s , « M a t h e m . A n n a l e n » , B e r l i n , 1923, p . 90; F r a n k l i n P h . , A Set of Continuous O r t h o ­ gonal F u n c t i o n s , i b i d . , 1928, p . 100; T a m a r k i n e .Т., S u r quelques points de l a theorie des F e q u a t i o n s differentielles l i n e a i r e s ordinaires et sur l a g e n e r a l i ­ s a t i o n de l a serie de F o u r i e r s , « R e n d i c o n t i del Circolo M a t e m a t i c o di P a l e r m o * , P a l e r m o , 1912, v . 34; P 1 a n c h e r e 1, S u r l a convergence des fonctions orthogonales, «CR», 1913, t . 157; H a a r A . , U b e r die M u l t i p l i k a t i o n s t a b e l l e d . orthogonalen F u n k t i o n s y s t e m e , « M a t h e m . Z t s c h r . » , В . , 1930, B . l . Д. Колянновсний. ОРУДИЯ И ОРУДИЙНОЕ ПРОИЗВОДСТВО, р(ж) 1 (а, р, х)Р _ п п х (ж) dx = 0, (10) •1 заменяющее ур-ия (9) и вполне определяю­ щее полином 1 (а,р,х); в этом ур-ии P -i(x)— произвольный полином (п— 1)-й степени. Можно показать, что всякому целому числу п и данным значениям параметров а и р от­ вечает полином 1 (а, р ж), являющийся ча­ стным интегралом диференциального ур-ия (S); общий же интеграл получается квадра­ турой при помощи этого полинома. Прида­ вая п значения 0 , 1 , 2 , . . . , п, получаем бес­ численное множество полиномов соответ­ ствующих степеней; эти полиномы называ­ п n п } см. Производство орудийное. ОСАДОЧНЫЕ ПОРОДЫ, породы, образова­ вшиеся в результате последовательного от­ ложения минеральных продуктов выветри­ вания (см.) осадков из различных раство­ ров и осадков органического происхожде­ н и я . О. п. благодаря такому образованию их обладают слоистостью в отличие от пород изверженных, преимущественно массивных.. Слоистость обусловливается или периодич­ ностью отложения осадков (отложения соли в морских бассейнах) или сменой петро­ графического характера пород. Мощность отдельных слоев может варьировать в широ­ ких пределах от незначительных прослой-