* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

649 ПРЕЦЕССИЯ 650 о т н о с и т е л ь н о п о д в и ж н ы х о с е й с у т ь ?, ц, С, а о т н о с и т е л ь н о н е п о д в и ж н ы х осей ? ,ц ,? & Т . к . ж и в а я с и л а W т е л а р а в н я е т с я в этом с л у ч а е (см. Эйлера уравнения) х х Х с л е д н е г о . П о д с т а в л я я в (14), (15), (16) з н а ­ ч е н и я р, q, г и з р а в е н с т в (1) н а х о д и м п о с л е соответствующих преобразований: sin & ( J ) + Q 2 2 2 2 = С[ - С; cos 0, 0 - (18) (19) (20) W=(Ap 2 + Bq +Cr ), 2 2 (3) s i n 0 ^ = C&l - Cvr cos& $ c o— e s d t то, и с х о д я и з т о г о , ч т о д и ф е р е н ц и а л ж и в о й с и л ы р а в н я е т с я сумме э л е м е н т а р н ы х р а б о т всех в н е ш н и х с и л , п р и л о ж е н н ы х к т е л у , получаем: 2 d +• ? = r„. -.o. tft (Ар 2 + Bq* + Сг ) = -тд 2 d? , x (4) П о л о ж и в cos 0 = а и р е ш а я с о в м е с т н о (19) и (20), п о л у ч а е м : dv &dt df= »&o C&^-C& r a 2 0 = где т—масса в с е г о т е л а . И н т е г р и р у я (4), имеем: Ар + Bq + Сг = - 2 тд С + С , (5) где С —нек-рая произвольная постоянная интеграции. В рассматриваемом случае сум­ м а моментов в с е х в н е ш н и х с и л , д е й с т в у ю щ и х н а т е л о , п о о т н о ш е н и ю к оси z р а в н а О, вследствие чего главный момент количества д в и ж е н и я т е л а о т н о с и т е л ь н о т о й ж е оси есть в е л и ч и н а п о с т о я н н а я , т . е. п р о е к ц и я в е к т о ­ р а главного момента количества д в и ж е н и я н а ось z есть в е л и ч и н а п о с т о я н н а я . Т . к . проекции главного момента количества дви­ ж е н и я о т н о с и т е л ь н о т о ч к и О н а оси х, у, z с у т ь Ар, Bq, Сг (см. Эйлера уравнения), т о , о б о з н а ч а я cos у г л о в , о б р а з о в а н н ы х о с я м и х, у, z с осью z , ч е р е з у , у , у , и м е е м : Apy + Bqy + Cry =C , (6) где С —нек-рая постоянная. Так как у = sin ©sing?, у = sin 0 cos ср, Уз = cos 0, (7) то и з (6) и (7) и м е е м : Ар sin 0 sin.g? + Bq s i n 0 cos ср + + Сг cos 0 = С . (8) Рассмотрим далее еще более частный слу­ ч а й , к о г д а эллипсоид инерции (см.) относи­ т е л ь н о т о ч к и О есть п о в е р х н о с т ь в р а щ е н и я о к о л о оси z, с о д е р ж а щ е й т а к ж е и ц . т . т е л а . В этом с л у ч а е м ы очевидно и м е е м : A = B;?=r!=Q (9) и Ci = ? c o s 0 . (10) И з (5) и (8) имеем т о г д а , п р и н и м а я в о в н и м а ­ н и е (9) и (10): А(р + q ) + Сг = - 2 тд ? cos в + С , (11) A sin 0(р sin ср + q cos ср) + Сг cos 0 = С . (12) П о м и м о э т о г о и з 3 у р - и я (2) имеем (т. к . N=0): 2 2 2 х г x x х 2 3 x % s 2 % х 2 2 2 2 2 х 2 l-a2 o & a 0 (21) (22) a(C& &-C.&/ ) ~ " П о д с т а в л я я (21) в (18), и м е е м : (?) 2 = 2 ( C i - c ; & a x i - « 2 0 2 ) - -(C^-C& r a) = f(a). (23) При помощи эллиптич. интеграла можно из последнего у р - и я определить а в функ­ ц и и в р е м е н и t, а з а т е м и з (21) и (22) о п р е ­ д е л и т ь и tp, ср в ф у н к ц и и t, п о с л е ч е г о д в и ­ жение тела полностью определено. Н е при­ бегая однако к эллиптич. интегралам, можно у я с н и т ь себе х а р а к т е р д в и ж е н и я т е л а , и с ­ ходя из следующих соображений. Из ур-ия (21) в и д н о , ч т о становится равной нулю С" п р и a = тчт^, т . е. п р и п о с л е д н е м з н а ч е н и и a dt м е н я е т с в о й з н а к ." Е с л и r f T - , так что С^2 0 Г С& ! С[ г 2 0 > 1, TO a, б у д у ч и р а в н ы м cos 0, н е моясет д о с т и ч ь зна¬ чения менять свой знак н е с м о ж е т и с л е д о в а т е л ь н о у г о л у> л и б о все в р е м я т о л ь к о в о з р а с т а е т л и б о т о л ь к о у б ы в а е т , т . е. л и н и я у з л о в OJ в р а щ а е т с я все в рС& м я в о д н у и т у ж е с т о р о н у . Е с л и С" ж е е ; & о < 1, т о а м о ж е т с т а т ь р а в н ы м -^rfс г 2 т а к ч т о dt м о ж е т в д е й с т в и т е л ь н о с т и с т а т ь р а в н о й 0; у г о л у> б у д е т в э т о м с л у ч а е п о ­ переменно то увеличиваться до определен­ ных пределов, то уменьшаться. Так как д о л ж н а иметь вещественное значение, то /(а) д о л ж н а и м е т ь в о в с я к о м с л у ч а е П О Л О C&o dy> жительный з н а к , т а к что п р и а = и м е е м и з (23): 7 ^~<1, г = Const = г . (13) И з (11), (12) и (13) имеем д а л е е : P +g =C;-Ci&cos0, (14) ( р sin ср - f q cos ср) sin 0 = C&i — С^& cos 0, (15) г= r, (16) где 0 a a й 0 И з последнего ж е неравенства следует, что должно иметь место неравенство с: с" С> сесли С&г 0 (25) < 1. И з м е н е н и е у г л а у> и опреде­ Ci-Сг?, с= х 2тд С А А & (ГО Н е т р у д н о у с м о т р е т ь , ч т о п о с т о я н н ы е С и С п о л о ж и т е л ь н ы и з а в и с я т т о л ь к о от с а м о г о в р а щ а ю щ е г о с я т е л а , а п о с т о я н н ы е С& и С&з з а в и с я т от н а ч а л ь н ы х у с л о в и й д в и ж е н и я п о ­ 2 ляет т . н . прецессионное движение тела или с о к р а щ е н н о его П . И з (23) н е т р у д н о у с м о ­ треть,что /(а) будет отрицательной при зна­ ч е н и я х а, р а в н ы х —1 й + 1 , и ч т о f(a) п о л о ж и ­ т е л ь н а п р и н а ч а л ь н о м з н а ч е н и и a = а (т. к . в п р о т и в н о м с л у ч а е п р о и з в о д н а я ^ б ы л а бы м н и м о й ) и п р и a = + оо. Т . о. в и д н о , ч т о имеются три вещественных к о р н я д л я /(а), 0