* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

701 РАБОТА УПРУГИХ СИЛ 702 предложение и составляет т. н . теорему о взаимности перемещений (см.); о н а часто применяется п р и р е ш е ­ нии в о п р о с о в , связанных с о статически неопредели­ мыми системами, подвергающимися воздействиям к а ­ ких-либо подвижных н а г р у з о к ( п р и расчете к р а н о в , мостов и т. п . ) . П р о и н т е г р и р о в а в обе части последнего р а ­ венства в п р е д е л а х от 0 д о I, п о л у ч и м п о т е н ­ циальную энергию U изгиба всей балки. U J о М г dx s EI 2 О принципе возможных перемещений, или о принципе возможных (виртуальных) р а ­ бот с м . Механика теоретическая. И з л о ж е н н ы е выше т е о р е т и ч . выводы и м е ю т обширное практич. применение, н а п р . п р и расчетах потенциальной энергии, накаплива­ емой п р и д е ф о р м и р о в а н и и у п р у г и х б р у с о в , пластин, п р у ж и н , п р и определении величин п р о г и б о в и углов н а к л о н а б а л о к , р е л ь с и т . п . с различными с п о с о б а м и з а к р е п л е н и я и в и ­ дами н а г р у з о к , п р и р а с ч е т е и з г и б а р а м , п р и динамич. исследовании явлений колебании и в и б р а ц и й и т. д. В к а ч е с т в е ш щ о с т р а ц и и п р и м е н е н и я вышеприведенных т е о р е т и ч . вы­ водов р а с с м о т р и м с л е д у ю щ и е п р и м е р ы . П у с т ь имеется п р и з м а т и ч . с т е р ж е н ь АВ, к к о н ц а м к - р о г о п р и л о ж е н ы две равные и противополо­ жные п а р ы с момента­ м и , р а в н ы м и Ж и -М ( ф и г . 4 ) , действующие в продольной плоскости& симметрии с т е р ж н я . В сопротивлении материа­ лов напряя?енное состо­ яние с т е р ж н я п р и этих у с л о в и я х получает н а ­ звание чистого и з г и б а . Е с л и получаемый п р и этом и з г и б не выходит з а пределы у п р у ­ гих д е ф о р м а ц и й м а т е р и а л а , то р а б о т а Т в н е ш н и х сил п р и этом будет р а в н а 2 & (50) П у с т ь т р е б у е т с я определить п р о г и б f р а с ­ с м а т р и в а е м о й б а л к и в т о ч к е А. П р и м е н я я т е о р е м у К а с т и л ь я н о , имеем и з (50) и (48) дР J 0 I & вР 2EI 2Е1 J О дР К 1 & Х -mS о I о ?р№ + м уа = а х (43) где а—угол н а к л о н а п л о с к о с т и с е ч е н и я о д ­ н о г о к о н ц а б а л к и относительно д р у г о г о . Е с л и I—длина б а л к и до и з г и б а , р а в н а я длине н е й ­ т р а л ь н о г о с л о я б а л к и п о с л е и з г и б а , то а = & , (44) В к а ч е с т в е и л л ю с т р а ц и и п р и м е н е н и я вьппеизлоя^енного н а ч а т а наименьшей работы р а с ­ смотрим следующий п р и м е р . Пусть имеется б а л к а п о с т о я н н о г о сечения, один конец к о т о ­ р о й А заделан, а другой свободно опирает­ с я о подставку В (фиг. 6 ) , и пусть балка р а в ­ н о м е р н о н а г р у ж е н а н а г р у з к о ю q. О б о з н а ­ ч а я о п о р н у ю реакцию конца В балки через Х а реактивную п а р у , препятствующую пово­ роту сечения А балки через М , принимаем X з а лишнюю неизвестнуюжаковую надлежит о пределить. И з г и б а ю щ и й момент М в с е ч е ­ н и и аЪ, о т с т о я щ е м от В н а р а с с т о я н и и ж, М = Хж-|ж . (52) Е с л и пренебречь влиянием скальшающих с и л , то п о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я и з г и б а с т е р ж ­ н я н а основании (50) и (52) у а 2 тт L г M s dx __ г (Хх- - gx«)2 dx 2Ё1 ~ ,! ~~2ЁТ~- J начата Хт (53) работы На основании dU дХ наименьшей х2 аХ где Q—радиус к р и в и з н ы нейтрального с л о я . И з равенств (43) и (44) получаем следую­ щее в ы р а ж е н и е д л я р а б о т ы Т в н е ш н и х с и л , п р и л о ж е н н ы х к д а н н о й у п р у г о й системе и л и , что к о л и ч е с т в е н н о то ж е с а м о е , д л я потен­ циальной энергии U чистого изгиба: 2 @ 2Е1 Г Тх[{ -1я У] = (54) х = mf о ( Хх - 2 И х d x = in ( т- ят) = °> (45) (46) откуда X = ql. (55) Аналогичным о б р а з о м м. б. определена и ве­ личина М . Н а ч а л о наименьшей работы с б о л ь ш и м у с п е х о м п р и м е н я ю т д л я определеа Так как датее 1 е - _л _ / El& где Е—модуль у п р у г о с т и , а 1—момент и н е р ­ ции п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я б а л к и о т н о с и т е л ь ­ н о нейтральной о с и , то r=t/=gg. (47) П у с т ь далее имеется к о н с о л ь АВ ( ф и г . 5 ) , к к о н ц у А к-рой п р и л о ж е н а с и л а Р и п а р а , момент к о т о р о й М . Д л я с е ч е н и я аЬ, н а х о д я ­ щ е г о с я н а р а с с т о я н и и х от к о н ц а А б а л к и , и з г и б а ю щ и й момент а 60 Ф и г . 5. V/. Ф и г . 6. М = -Рх~М„. (48) П о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я d.U и з г и б а элемен­ т а балки длиною dx, с л е д у ю щ е г о н е п о с р е д ­ ственно з а сечением аЬ, р а в н а н а о с н о в а н и и формулы ( 4 7 ) : & / L 7 = W ( > 49 ния различных опорных реакций ферм, уси­ лий в лишних с т е р ж н я х и в о о б щ е для опре­ деления л и ш н и х н е и з в е с т н ы х в у п р у г и х с и с ­ темах. Ч т о к а с а е т с я теоремы о взаимных п е р е м е щ е н и я х , то п р и ее п о м о щ и легко р а з ­ р е ш а ю т с я в о п р о с ы , связанные с расчетом не­ р а з р е з н ы х б а л о к ( с м . Балки неразрезные), в ч а с т н о с т и определение р е а к ц и й п р о м е ж у т о ч ­ н ы х о п о р этих б а л о к ; в о о б щ е т е о р е м а о в з а и м н ы х п е р е м е щ е н и я х имеет в е с ь м а в а ж -