* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

699 РАБОТА УПРУГИХ СИЛ 700 2 л о ж е н н ы х к системе обобщенных сил, то ч а с т н а я п р о ­ и з в о д н а я потенциальной энергии системы по к а к о й л и б о ив этих сил р а в н я е т с я о б о б щ е н н о м у с м е щ е н и ю , в ы з в а н н о м у этой ж е с и л о й . Это п р е д л о ж е н и е носит название т е о р е м ы К а с т и л ь я н о . Вышепри­ веденный п р и м е р подтверждает справедливость этой теоремы. Т а к , б е р я ч а с т н у ю п р о и з в о д н у ю п % Р от (19). имеем, п р и н и м а я в о внимание (17): П о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я Т п р а в о г о пролета получа­ ется аналогичным о б р а з о м : 6А Ь* 63 Т = Bq—+qi <33) 4 20 j & Т» о . в с я потенциальная энергия Г с т е р ж н я а» . а* „ U-=a Ri lx a + CL22RZ+ ... + a i ? i J ? 2 + 1 2 + i 3 - K i - ^ 3 + . . . + O-nnRn, 2 2 l i t т о и з 1 ; 2 (27) П р и р а в н ы х п р о л е т а х , т. е. п р и а= Ъ R (39) где а ц , a , . . . . a ...—нек-рые коэф-ты. В виду того, что ?7 > О п р и всех з н а ч е н и я х Д R , •••> Rn> (27) следует, что все коэфициенты a,y (г = 1, 2 , п; j = l , 2 , . . . , п ) д . б . положительны. В з я в вторые п р о и з в о д н ы е по J R J , Дг, R от U, имеем и з ( 2 7 ) : n d*U „ — 2 = 2а Эй? а 1 ; д^и „ 5 — = 2а ЭД| 2 2 ; дВ.1 = 2а И № . (28) О т с ю д а следует, что вторые п р о и з в о д н ы е ф у н к ц и и U п о Ri, й , . . . . Rn положительны. Н а л и ч и е послед­ него обстоятельства вместе с наличием системы ур-ий (26) представляет у с л о в и е для минимума ф у н к ц и и U. Т а к и м о б р а з о м определение и з л и ш н и х неизвестных сил Ri, R%, Rn статически неопределимой системы п р и п о м о щ и системы ур-ий (26) сводится к подысканию для R R, R таких з н а ч е н и й , п р и к-рых значев ние потенциальной энергии системы становится миним м у м о м . Это и есть так н а з . н а ч а л о н а и м е н ь ­ ш е й р а б о т ы . В качестве п р и м е р а р а с ­ смотрим следующий с л у ч а й . П у с т ь имеется н е р а з р е з н а н балка, нагруженная равно­ м е р н о распределенной н а ­ г р у з к о й q и и м е ю щ а я три Фиг. 3. о п о р ы (фиг. 3 ) , р е а к ц и и к о ­ т о р ы х суть А, Я и В, на­ правленные в е р т и к а л ь н о с н и з у в в е р х . В з я в а л г е б р а и ­ ч е с к и е суммы моментов в с е х с и л , п р и л о ж е н н ы х к б а л к е , с н а ч а л а относительно точки М, а затем отно­ сительно точки К, и п р и р а в н я в эти суммы н у л ю , получаем: a + b А = д а+Ь (29) а + Ь B=q R 2 a+bi 2 Jt z n П у с т ь имеется у п р у г а я система, п о д в е р г а ю щ а я с я воздействию со с т о р о н ы двух различных систем н а г р у ­ з о к , с о с т о я щ и х и з сил Pi, Р2, Pi и сил Pi+i, Р( 2, Рп- Ч т о ж е к а с а е т с я о п о р , то допустим, что о н и м. б. определены и з у р а в н е н и й статики или, в слу­ ч а е статич. неопределимой системы, что излишние з а ­ к р е п л е н и я заменены соответствующими излишними силами р е а к ц и й . П у с т ь далее под действием п е р в о й системы сил точки п р и л о ж е н и я всех сил смещаются п о н а п р а в л е н и я м последних н а р а с с т о я н и я <5,,d , i+ii <5>i, а под действием второй системы с и л — н а р а с с т о я н и я д, б& , <5% <5$ . б& . Ж е л а я о п р е ­ делить потенциальную энергию всей у п р у г о й системы под действием всех сил P i , Рг Pi, Pi+i, Р , Допу­ стим, что с н а ч а л а действовал лишь первый вид н а г р у з ­ к и . Т о г д а потенциальная э н е р г и я системы в ы р а ж а е т с я н а о с н о в а н и и р а в е н с т в а (5) суммой + 2 6 2 г +1 п п PiSi -2~ + ~2~ & + П р и л а г а я затем в т о р у ю г р у п п у сил, получим следую­ щее в ы р а ж е н и е для потенциальной энергии системы от действия этих сил 2 •+ 2 7. & Г Рб П П " 2 К р о м е того под действием 2-й группы сил точки п р и ­ л о ж е н и я 1-й группы сместятся п о н а п р а в л е н и я м п о ­ следних сил н а д, S-2, Si, т. ч . эти силы с о в е р ш а ют р а б о т у , р а в н у ю Pi«i + Р <5 + . . . + Р А . 2 2 Следовательно у п р у г а я система под одновременным действием сил обеих г р у п п будет обладать потенци­ альной энергией 17 = Pi<5 • . * * 4Р 6 -+ + П о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я изогнутого с т е р ж н я с о г л а с ­ но выводам с о п р о т и в л е н и я материалов получает вы­ ражение (30) о где АГ — и з г и б а ю щ и й момент равный для левого пролета, (31) энергия + Pi«5j + • • • + PiSf. (40) "1 ^ & + 2 & 2 С д р у г о й с т о р о н ы , п р и л а г а я с н а ч а л а 2-ю группу сил, а затем 1-ю г р у п п у и р а с с у ж д а я так ж е к а к в пер­ в о м с л у ч а е , получаем 17 = : Р <5о 2 . , Рг+2 «&+2 , Н „ г й 2 М=Ах-~^В рассматриваемом T j левого пролета случае потенциальная • + - р + Р ^иг°г+1 + ---7, 1 / : Л 1 2 С р а в н и в а я (40) и ( 4 1 ) , имеем: + + (41>- P / i + P « 2 + • • • + Р& = Р г А 1 + + PiMU2+ ••• + P « < 5 « , 2 + + (42)- о 1 / . а » Ах -q — . а* , J „ а<- ах — (32) т. е. р а б о т а , п р о и з в е д е н н а я силами первого с о с т о я ­ н и я у п р у г о й системы п р и перемещениях в т о р о г о еес о с т о я н и я по н а п р а в л е н и я м сил п е р в о г о с о с т о я н и я р а в н я е т с я р а б о т е сил в т о р о г о с о с т о я н и я этой ж е у п ­ р у г о й системы п р и перемещениях п е р в о г о ее с о с т о я ­ н и я п о н а п р а в л е н и я м сил в т о р о г о с о с т о я н и я . Это»