* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

911 РЯДЫ Сравнение лютной к 912 не является достаточным условием сходимосо Р. Признаки аб СОсо сти; так, P. тг=1 со -—расходится несмотря на то, сходимости. Если Р . 2 71 = к к °к 1 что это условие выполняется. Действительно, для Р . 2 Y п сумма — 1 1 (все Ъ >0) сходится и если а < Ъ , то Р . со 2 1 «А абсолютно сходящийся. Доказательство VI + 71 + + Yn Yn этого положения следует из признака Коши Следующим образом: п+р k=n+l п+р I% I < fc=n+l п+р =-— = ] / м , Уп Уп Yn и следовательно l i m #„ = со. Другим приме71-»-со 2 ч <2 п+р 2 к> ъ 71+1 ром расходящегося ряда, удовлетворяюще­ го условию П т а = 0, является гармониче­ и правая часть последнего неравенства при п-+оэ имеет пределом 0, следовательно то же будет и с 2 l *la ский р я д 1+1+1+ + 7, + 71+1 Абсолютная и условная сходи­ м о с т ь . Сходящийся Р . (1) называется абсо­ лютно сходящимся, если Р . K I + а + а + ... + а + ... (2) сходится. Сходящийся Р . (1) называется схо­ дящимся условно, если Р . (2) расходящийся. Пример абсолютно сходящегося Р.—геомет­ рическая прогрессия с знаменателем q, если ]<2|<1. Примеры Р . , сходящихся условно, да­ ет теорема Лейбница. Пусть р , р , ... , р — положительные не возрастающие с увели­ чением п чиста и такие, что l i m р = 0; при й 3 п х 2 п п Из сравнения данного Р . (1) с геомет­ рической прогрессией получаются следую­ щие достаточные признаки абсолютной схо­ димости: пусть l i m = I. Если I < 1, то 1 71->Со& П & Р . (1) сходится, и если I > 1, то Р . (1) расходится ( п р и з н а к Д а л а м б е р а). Пусть ИтУа = 1; если I < 1, то Р . (1) п П->- со абсолютно сходится; если 1>1, то Р . (1) рас­ ходится ( п р и з н а к К о ш и). Пусть q>(x) положительная невозрастающая ф-ия, опресо п->-оо этих предположениях Р . Р1-Р2 + Р з - Р 4 + ••• + ( - 1 ) я + 1 деленная при 0 < ж < да и такая, что J <р (х) dx а 2 > » + ••• сходится. Из приведенной теоремы следует, что Р . V i У2 1 2 1 Уз 3 4 Yi + ... существует ( а > 0 ) . Если члены ряда (1) удо­ влетворяют неравенствам а < <р(п), то Р . (1) абсолютно сходится (интегральный признак сходимости). Доказательство: по предположению Р . п со k 2 Гv k=l ft-1 () ж dx сходятся. Сходимость этих Р . условна, ибо Р . , составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Перестановка членов в абсолютно сходящемся Р . не нарушает сходи­ мости Р . и не меняет его суммы. Перестановка членов в условно сходящемся Р . может нару­ шить его сходимость или, не нарушая схо­ димости, изменить его сумму. со сходится; члены Р . (1) не больше членов этого Р . , так как fe й j <Р (ж) dx > j (р (к) dx = <р (Jc) > I а |. к fe-i ft-i Следовательно и Р . 2 I п I сходится. а со 1 Примеры применения признаков сходимо( — Пример: Р. ft=i 2 условно сходит- со сти: Р . 2 ^2* Р 1 7 П И I 0.1 < 1 сходится, так как СО + ..., получивший­ ся; Р . ? + 2 ^ 5 ^ 7 с я о т закономерной перестановки членов в пре­ дыдущем Р . , хотя и сходится,но имеет другую сумму. Но тот же условно сходящийся Р . мож­ но сделать расходящимся путем соответствую­ щей перестановки членов. Если по крайнеймесо со а Inn тг->со1 -—-г^г— R q = | I q ] меньше единицы. Р . Л — 7i = l со n < 1 J— dx а х существует а ре один из двух сходящихся Р . 2 71=1 п и 2 71=1 (при а > 1 ) . Приводим суммы указанных Р . при а = 2 и а = 4: тг2 6 & сходится абсолютно, то справедлива следую­ щ а я ф-ла для произведения этих Р . : тг=1 тг=1 ZA п* 2« « 71 = 1 п=1 71 = 1 Р . ф у н к ц и й . Дана последовательность функций fi(x), f (x), f (x), ... 2 n