* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

427 РЕЗОНАНС 428 колебаний частоты <а . Если же со,=со, то биений в системе очевидно не будет, но про­ цесс установления колебаний будет происхо­ дить по закону (—e- ), т. е. установившаяся амплитуда вынужденных колебаний будет до­ стигнута все же не сразу. Если бы затухания в системе не было, то нарастание амплитуды происходило бы пропорционально времени, и т. к. амплитуда при Р . в этом случае стре­ мится к бесконечности, то установление Р . длилось бы бесконечно долго. В этом случае и для установления Р . затухание играет прин­ ципиальную роль, и пренебрегать им нельзя при рассмотрении процесса установления. Однако если а не очень велико, то при малых t можно e- разложить в ряд по степеням at н ограничиться первым членом, т. е. принять e-at^i—at. Тогда 1— e- ^at и нарастание колебаний вначале, пока амплитуды колеба­ ний, а значит и потери энергии в системе ма­ лы, и при наличии затухания будет происхо­ дить примерно пропорционально времени, т. е. в начале процесса установления затухание не изменяет существенно картины, и иногда це­ лесообразно при определении характера уста­ новления в самом начале процесса пренебре­ гать затуханием системы. Чем меньше зату­ хание системы, тем больше времени потребует­ ся на установление процесса, на то, чтобы амплитуда вынуждаемых колебаний достигла напр. 0,99 от того предельного значения, к к-рому она стремится при t-*co. Поэтому все приведенное выше рассмотрение явления Р . имеет смысл только в том случае, если внеш­ н я я сила соответствует достаточно длинному «отрезку синусоиды» (строго говоря—беско­ нечной синусоиде). Длина этого отрезка д. б. такова, чтобы за это время процесс в колеба­ тельном контуре успел установиться, т. е. должна быть тем больше, чем меньше затуха­ ние системы. Другими словами, за время т, к-рое определяется условием e-° « 1, никаких заметных изменений в амплитуде и частоте внешней силы не должно происходить. Если это условие не будет соблюдено, то явления, происходящие в колебательной системе, бу­ дут существенно отличаться от рассмотренных выше, напр. если при снятии кривой Р . изме­ нять частоту со внешней силы очень быстро 1 at at al r соизмеримость в математич. смысле, а отсут­ ствие между частотами отдельных гармонич. ф-ий простых кратных отношений. Эта задача хотя и сложнее рассмотренной нами выше, но в случае линейной колебательной системы легко м. б. к ней сведена благодаря тохму, что в линейных системах имеет место принцип су­ перпозиции. Этот принцип заключается в сле­ дующем: решение, соответствующее случаю действия суммы нескольких сил, равно сумме решений, каждое из к-рых соответствует слу­ чаю действия одной из составляющих сил. Т. о. применимость принципа суперпозиции обусловлена линейностью самой системы, т. е. тем. что параметры системы суть величины по­ стоянные. Негармопич. внешнюю силу F(t) мы можем разложить в ряд Фурье, т. е. пред­ ставить либо в виде суммы гармонич. ф-ий с соизмеримыми периодами, если F(t)—ф-ия пе­ риодическая, либо в виде суммы гармонич. ф-ий с несоизмеримыми периодами, если ф-ия F(i) почти периодическая, либо наконец пред­ ставить в виде интеграла Фурье, т. е. инте­ грала гармонич. ф-ии со «спектральной интен­ сивностью», зависящей от частоты, и распро­ страненного на все частоты от 0 до со, если ф-ия непериодическая (подробнее о ряде и ин­ теграле Фурье см. Гармонический анализ). Ре­ шение для каяодой гармонич. составляющей. на к-рые разложена сила F(t), мы можем най­ ти по предыдущему, и благодаря линейности системы общее решение (общий характер ко­ лебаний) определится суммой всех найденных решений. Резонансные явления будут насту­ пать в системе очевидно всякий р а з , когда одна из частот гармонич. составляющих внеш­ ней силы будет приближаться к собственной частоте колебательной системы. Для наступле­ ния Р . необходима т. о. не близость частоты самой внешней силы, а близость частоты ка­ кой-либо из ее гармонич. составляющих к собственнойчастоте системы. Действительно пусть внешняя сила состоит из двух гармонич. со¬ т т ставляющих с периодами и у , т. е. F(t) = a sin 2cot + Ъ sin Зсо?. Т. к. периоды соизмеримы, то F(t) есть ф-ия чисто периодическая с периодом, равным наи­ меньшему кратному периодов составляющих ф-ий, т. е. есть ф-ия с периодом Т и угловой частотой со. Резонансные явления будут одна­ ко наступать только тогда, когда собственная частота системы будет близка к частоте 2 со или Зсо. При собственной же частоте системы, близкой к частоте внешней силы со, никаких резонансных явлений наступать не будет. Тем более недостаточным для наступления Р . я в ­ ляется условие, что частота- внешней силы в целое число раз меньше, чем Собственная ча­ стота системы (а период внешней силы в целое .число раз больше, чем период системы). И в этом случае необходимым условием для на­ ступления Р . является наличие во внешней силе гармонич. составляющей, частота к-рой близка к собственной частоте системы. Так, если внешняя сила представляет собой перио­ дич. ф-ию с периодом | , но содержащую толь­ ко нечетные гармоники, т. е. гармонич. частосо За) 5а> (т. е. так, чтобы напр. за время т = ^ частота успела заметно измениться), то мы не полу­ чим тех кривых Р . , к-рые выведены выше из рассмотрения установившегося процесса. Т. о. явление Р . со всеми его характерными чер­ тами нужно рассматривать как явление, на­ ступающее не мгновенно, а устанавливающее­ ся с известной скоростью, причем это уста­ новление требует тем большего времени, чем меньше затухание системы. Выше рассмотрен простейший случай Р . при действии гармонич. внешней силы на ли­ нейную колебательную систему. Однако часто приходится рассматривать более сложные слу­ чаи как в смысле характера внешней силы, так и в смысле свойств самой колебательной системы. Прежде всего внешняя сила часто представляет собой не гармоническую, а более сложного вида силу—чисто периодическую, почти периодическую или совсем неперио­ дическую. Почти периодической является на­ пример ф-ия, представляющая собой сумму ряда гармонич. ф-ий с несоизмеримыми перио­ дами. Физически однако существенна не не­ Tbij, , у и т. д . , то при частоте системы, близкой к со, никаких резонансных явлении наблюдаться не будет. Эта особая роль, к-рую играют гармонич. составляющие внешней си-