* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

769 СИЛА КРИТИЧЕСКАЯ 7,70 ж е н н ы м и н а к о н ц а х и д е й с т в у ю щ и м и в д о л ь оси его, сохраняет прямолинейную форму равнове­ сия, пока силы Р невелики. П р и возрастании сил Р наступает такой момент, когда прямоли­ нейная форма равновесия становится неустой­ чивой и стержень искривляется." То значение сжимающей силы, при к-ром начинается искри­ в л е н и е с т е р ж н я , н а з ы в а е т с я до н а с т о я щ е г о в р е ­ мени Э й л е р о в о й к р и т и ч е с к о й с и л о й . & Т е о р и я Эйлера была несколько далее развита Л а г р а н ж е м , п р и м е н я в ш и м ее к р а с ч е т у к о ­ л о н н . И д е и Э й л е р а д о л г о е в р е м я не н а х о д и л и себе п р и м е н е н и я в т е х н и к е , о н и б ы л и о с н о в а ­ тельно забыты, и инженеры пользовались прй расчете с ж а т ы х с т е р ж н е й р а з л и ч н ы м и э м п и р и ч . ф - л а м и . Л и ш ь в о в т о р о й п о л о в и н е 19 в . , к о г д а развитие строительства мостов и д р у г и х метал­ л и ч . конструкций потребовало более точного расчета сжатых стержней й тонких пластин, выяснилась вся правильность и плодотворность идей Э й л е р а . О к а з а л о с ь , что в о в с е х т е х с л у ­ ч а я х , к о г д а один и л и д в а р а з м е р а т е л а м а л ы сравнительно с третьим (пластины, оболочки, т о н к и е с т е р ж н и ) , в с е г д а с у щ е с т в у е т С. к . и о н а м . б . н а й д е н а п о способу, у к а з а н н о м у Э й л е р о м . П о я в и л о с ь очень б о л ь ш о е ч и с л о р а б о т в э т о й области, и в настоящее время при всех расчетах т о н к о с т е н н ы х к о н с т р у к ц и й п р е ж д е в с е г о счи­ т а ю т с я с этой С. к. С и л ы , д е й с т в у ю щ и е н а с о о р у ­ ж е н и е , о б я з а т е л ь н о д . б. м е н ь ш е к р и т и ч е с к и х . Е с л и п о н я т и е о С. к . в т е о р и и у п р у г о с т и установилось у ж е давно, то в статике твердого тела первый довольно сложный пример был дан С у т в е л л о м в 1913 г . Н е с к о л ь к о б о л е е п р о с т ы х примеров даны Динником. Наиболее просто на­ х о д и т с я С. к . в с т а т и к е т в е р д о г о т е л а с л е д у ю ­ щ и м п р и е м о м : и з в е с т н о , что е с л и р а б о т а А п р и ­ л о ж е н н ы х к телу сил при малом, но конечном о т к л о н е н и и его от п о л о ж е н и я р а в н о в е с и я о т р и ­ ц а т е л ь н а , то р а с с м а т р и в а е м о е п о л о ж е н и е р а в н о ­ в е с и я у с т о й ч и в о ; если А п о л о ж и т е л ь н а , т о — н е устойчиво. Если А меня­ ет с в о й з н а к п р и в о з р а ­ с т а н и и с и л ы Р , то С. к . существует; если ж е А сохраняет свой з н а к , то С. к . н е с у щ е с т в у е т . Д л я н а х о ж д е н и я С. к . следу­ ет п р и р а в н я т ь А н у л ю и рещить соответствую­ щее ур-ие относительно Р. Н а п р . м а я т н и к состоит и з невесомого с т е р ж н я С т и ш а р а весом Q ( ф и г . 1). Н и т ь mBDEP с грузом Ф и г . 1, Р н а конце проходит че­ р е з к о л ь ц о В, л е ж а щ е е н а о к р у ж н о с т и р а д и у с а I , к а к - р а з н а д С и че­ р е з б л о к и JD и Е. Я с н о , что п о л о ж е н и е р а в ­ н о в е с и я ( у = 0) я в л я е т с я у с т о й ч и в ы м , е с л и Р м а л о с р а в н и т е л ь н о с Q, и н е у с т о й ч и в ы м , е с л и Р в е л и к о , т . е. С. к . здесь с у щ е с т в у е т ; н а д о н а й ­ т и ее в е л и ч и н у . Р а б о т а в с е х с и л п р и о т к л о н е н и и м а я т н и к а и з п о л о ж е н и я р а в н о в е с и я н а у г о л q> А = -Ql ( 1 - c o s ?>) + 2Р1 ( l - c o s - f ) * + Р] 1я> г деформации существует вообще н е с к о л ь к о з н а ­ ч е н и й С. к . ; и з н и х д л я т е х н и ч . ц е л е й в а ж н о з н а т ь н а и м е н ь ш у ю . В ы с ш и е ж е С. к . в б о л ь ш и н ­ стве с л у ч а е в н е п р е д с т а в л я ю т н и к а к о г о и н т е р е ­ са. Д л я определения Р . существуют 3 основ­ н ы х с п о с о б а . Н е и з л а г а я и х в общей ф о р м е , п о ­ ясним суть дела на задаче о продольном изгибе. 1) П р я м о е и н т е г р и р о в а н и е д и ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й равновес и . я . К о л о н н а ( ф и г . 2) с ж а т а с и л о й Р , дей­ с т в у ю щ е й в д о л ь оси е е . П р и малой Р колонна остается Ф и г . 2. прямой. П р и увеличении Р может наступить такой мо­ мент, когда прямолинейная форма к о л о н н ы Делается не­ устойчивой и колонна ис­ кривляется. Д л я нахожде­ н и я того значения Р , п р и к - р о м н а ч и н а е т с я это и с к р и ­ вление, предполагают, что колонна уже искривилась, и составляют диференциальное ур-ие изгиба д л я м а л ы х о т к л о н е н и й от п р я м о л и н е й ­ ной формы равновесия. П р и м а л ы х о т к л о н е н и я х это у р а ­ внение получается линей­ н ы м . И н т е г р и р у ю т его и определяют из граничных условий произвольные по­ стоянные, вошедшие при ин­ т е г р и р о в а н и и . Эта о п е р а ц и я приводит к конечным урав­ нениям, в к-рые входят про­ извольные постоянные ин­ тегрирования, сила Р и раз­ меры колонны. Критич. зна­ чение Р находится из того соотношения между силой и размерами колон­ ны, п р и к-ром уравнение изгиба может иметь н е с к о л ь к о р е ш е н и й , у д о в л е т в о р я ю щ и х одним и тем ж е г р а н и ч н ы м у с л о в и я м ( и з г и б п р о ­ д о л ь н ы й — с м . Изгиб). Е г о и н о г д а и з м е н я ю т след. обр.: к силе Р , критич. значение к-рой надо определить, присоединяют еще к а к у ю л и б о с и л у ( н а п р . п о п е р е ч н у ю с и л у и л и момент) и смотрят, при каком значении Р прогиб, вы­ з ы в а е м ы й д о п о л н и т е л ь н о й с и л о й , будет н е о п р е ­ д е л е н н о в о з р а с т а т ь . Это з н а ч е н и е Р и б у д е т С. к. 2) М е т о д п о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и и . П р е д п о л а г а ю т , что к о л о н н а у ж е и с к р и в и л а с ь , и составляют выражение д л я изменения потен­ ц и а л ь н о й э н е р г и и AW с и с т е м ы п р и и з г и б е . В данном случае потенциальная энергия AW сла­ гается из энергии изгиба ДГ и убыли энергии ДГ при опускании груза Р : кр i i ± J Ely"* dx-* J y&*dx. о 0 К р и т и ч е с к а я сила н а х о д и т с я и з у р а в н е н и я AW= Д Ж = 0. Е с л и известна форма той к р и в о й , по к-рой ис­ к р и в л я е т с я н а ш а колонна, то из ур-ия Д Ж = О п о л у ч а ю т т о ч н о е з н а ч е н и е Р ,. Н о в б о л ь ш и н ­ стве с л у ч а е в ф о р м а э т о й к р и в о й н е и з в е с т н а . Тогда можно воспользоваться следующим при­ б л и ж е н н ы м п р и е м о м , п о д р о б н о р а з в и т ы м С. Т и ­ мошенко: на основании опытных данных и л и рассмотрения аналогичных задач задаются под­ х о д я щ е й ф о р м о й к р и в о й , п р и ч е м ее у р - и е о б я ­ зательно должно удовлетворять условиям на кр и л и п р и малом.<р А = [-2Q Е с л и P<2Q, то А<0 и р а в н о в е с и е у с т о й ч и в о ; е с л и ж е P>2Q, то А>0 и р а в н о в е с и е н е у с т о й ­ ч и в о . С. к . н а х о д и т с я и з у р - и я А*=0, т . е . Рт = 2Q. Д л я д р у г и х систем д л я д а н н о г о т и п а т . э. т . хх. 25