* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

957 ТЕПЛОПЕРЕДАЧА 958 ны с у п р у г и м и к о л е б а н и я м и т е л а и что в н у т р е н ­ н я я т е п л о в а я э н е р г и я есть не что и н о е , к а к сумма механич. энергий этих колебаний. Вводя г и п о т е з у , что число в о з м о ж н ы х к о л е б а н и й т е л а не м . б. б о л ь ш е ч и с л а степеней свободы т е л а , с о х р а н я я л и ш ь более м е д л е н н о е к о л е б а н и е и о т б р а с ы в а я все о с т а л ь н ы е , Д е б а й п о л у чает ф - л ы , хорошо согласующиеся с опытными данными относительно теплоемкостей, з а п а с а тепловой э н е р г и и и д р у г и х свойств т е л а . У п р у г о с т н а я т е ­ ория тепла Д е б а я относится к одноатомным те­ л а м и , п р и л а г а я з а к о н ы у п р у г и х к о л е б а н и й , он р а с с м а т р и в а е т твердое т е л о к а к с п л о ш н о е . П о я ­ в и в ш а я с я в том ж е году р а б о т а В о р н а и К а р м а ­ на исходит из представления о м о л е к у л я р н о й структуре вещества и рассматривает возможные коле б а н и я о д н о а т о м н о г о т в е р д о г о т е л а , о б р а з о ­ ванного, из атомов, р а с п о л о ж е н н ы х в в е р ш и н а х кубической решетки. После них п о я в и л с я це­ л ы й р я д р а б о т , с в я з ы в а ю щ и х т е п л о ь ы е свойст­ ва с учением П л а н к а о к о л е б а н и я х электронов и л и з а р я ж е н н ы х м о л е к у л (ионов) к а к и с т о ч н и ­ к а х л у ч и с т о й э н е р г и и . Т . о. ф и з и к а в п о с л е д ­ нее в р е м я т в е р д о с т а л а н а п у т ь м а т е р и а л и с т и ч . понимания тепловых явлений и рассматривает передачу тепловой энергии в твердом теле к а к следствие колебательного д в и ж е н и я его частиц. Е с л и в соседних с л о я х т е л а э н е р г и я ч а с т и ц р а з ­ л и ч н а , то н е п р е р ы в н ы е в з а и м о д е й с т в и я ч а с т и ц м е ж д у собой п о в л е к у т у в е л и ч е н и е э н е р г и и в т е х с л о я х , где о н а м е н ь ш е , п р и ч е м п е р е д а ч а э н е р ­ г и и м о ж е т п р о и с х о д и т ь не п у т е м с т о л к н о в е н и й частиц, а передачей частицами лучистой энер­ г и и ( п е р е д а ч а через о к р у ж а ю щ е е м о л е к у л ы и атомы пространство). Однако механич. теория т е п л а н е н а с т о л ь к о р а з р а б о т а н а , чтобы м о ж н о б ы л о ею п о л ь з о в а т ь с я д л я в ы ч и с л е н и я р а з л и ч ­ ных случаев Т., и в настоящее время теория Т. о с т а е т с я н а ф е н о м е н о л о г и ч . т о ч к е з р е н и я , не вникая в материалистич. сущность тепловых процессов, а рассматривая их к а к некоторые & з а к о н о м е р н о с т и , м о г у щ и е быть п о д в е р г н у т ы ­ ми математич. исследованию. Т а к а я формаль­ н а я математич еская теория теплообмена б ы да с о з д а н а еще Ф у р ь е (1828 г . ) и -da, П у а с с о н о м (1835 г . ) и в р е з у л ь т а т е тру¬ " л " дов многочислен­ н ы х у ч е н ы х в ыастоящее время пред­ ставляет целый от­ дел математич. физики. Связь меж­ ду величинами, характеризующими различные случаи Т., обыкновенно Фиг.& 1. в в и д у с л о ж н о с т и я в л е н и я м » б. получена лишь в диференциальном виде, в форме д и ф е р е н ц и а л ь н о г о у р - и я . С о д е р ж а н и е т е о р и и Т . з а к л ю ч а е т с я в и н т е г р и р о в а н и и дифе­ р е н ц и а л ь н о г о у р - и я Т . н а основе з а д а н н ы х н а ­ чальных и граничных условий, к-рыми выде­ ляется данный конкретный случай. х н а п р а в л е н п а р а л л е л ь н о оси X и п р о х о д и т т о л ь ­ ко через плоскости параллелепипеда, п а р а л ­ л е л ь н ы е XOZ. К о л и ч е с т в о т е п л а dQ в о ш е д ш е е ч е р е з з а д н ю ю п л о с к о с т ь abed в п а р а л л е л е п и ­ п е д , будет п р о п о р ц и о н а л ь н о г р а д и е н т у т е м п - р ы b , к о э ф - т у т е п л о п р о в о д н о с т и Я, в е л и ч и н е п о ­ в е р х н о с т и abed, р а в н о й dy • dz, п в р е м е н и dt. dQ^ — k^.dyds-dt. u Одновременно вышедшее из передней плоско­ сти a&b&e&d& к о л и ч е с т в о т е п л а dQ пропорцио­ н а л ь н о тем ж е в е л и ч и н а м , н о г р а д и е н т т е м п - р ы п р и п е р е х о д е от и з о т е р м ы Т к и з о т е р м е Т + ~ dx, л е ж а щ е й н а р а с с т о я н и и dx от п е р в о й , изменит¬ с я в j r - -— dx. т дх 1 бх 2 Следовательно dQu = - * (% + S ) • *У & З н а к «—» у к а з ы в а е т , что п о л о ж и т е л ь н ы й п о т о к тепла направлен в сторону уменьшения темп-ры, т . е. о т р и ц а т е л ь н о г о ее г р а д и е н т а . Р а з н о с т ь d x d z d L dQ - dQ l u = Я^ • dx - dy dz - dt представляет количество тепла, накопившееся в п а р а л л е л о г р а м м е з а в р е м я dT. Оно очевидно р а в н о c-Q - aT-dV,TRe с—теплоемкость, Q—плот­ н о с т ь в е щ е с т в а , dV = dx dy dz—объем п а р а л л е ­ л е п и п е д а , a dt—повышение его т е м п - р ы , в ы з ­ ванное притоком указанной теплоты. Прирав­ н и в а я д р у г д р у г у оба в ы р а ж е н и я д л я н а к о п л е н ­ ного в параллелепипеде количества тепла, по­ л у ч и м п о с л е с о к р а щ е н и я н а dx dy dz: . Э2Т дТ П р и выводе коэф. теплопроводности прини­ м а л с я постоянной величиной. В общем случае, к о г д а н а п р а в л е н и е п о т о к а не с о в п а д а е т с о с ь ю OX, dQ — dQjj п р е д с т а в и т с о с т а в л я ю щ у ю п о ­ т о к а п о оси ОХ, н д л я с о с т а в л я ю щ и х п о т о к а по н а п р а в л е н и ю осей OY и OZ п о л у ч и т с я а н а л о г и ч ­ ное в ы р а ж е н и е , а н а к о п л е н и е т е п л а в п а р а л л е ­ лепипеде представится суммой трех таких чле­ н о в , т . ч . в общем с л у ч а е у р - и е (1) п р и м е т в и д : l dt I . Кондунция. В ы в е д е м у р - и е Т . в о д н о р о д ­ ном, и з о т р о п н о м (имеющем по всем н а п р а в л е ­ ниям одинаковые свойства) твердом теле д л я с л у ч а я н е с т а ц и о н а р н о г о , т . е. м е н я ю щ е г о с я в о времени, теплового потока. Выделим из те­ ла элементарный параллелепипед abcda&b&c&d& (фиг. 1) с р е б р а м и dx, dy, dz, п а р а л л е л ь н ы м и осям координат, к-рые выбраны прямоугольны­ ми и р а с п о л о ж е н н ы м и т а к , что п л о с к о с т и п а р а л ­ л е л е п и п е д а dz-dy с о в п а д а ю т с и з о т е р м и ч . п л о ­ скостями. В таком случае поток тепла будет а= ~ н а з ы в а е т с я к о э ф - т о м т е м п е р а т у р о п р о в о д ­ ности тела, т. к. скорость повышения темп-ры в теле пропорциональна ему. В качестве примера интегрирования полу­ ченного у р - и я рассмотрим решение следующей з а д а ч и : « п л о с к а я п л и т а , т о л щ и н а к - р о й 2.Х,имевш а я первоначально темп-ру Т , внезапно пере­ н е с е н а в с р е д у с t°, р а в н о й 0°. Н а й т и з а к о н ее о х л а ж д е н и я , в частности и з м е н е н и е т е м п - р ы Т в л ю б о м р а с с т о я н и и от с е р е д и н ы п л и т ы , в ф у н к ц и и в р е м е н и t». Р а з м е р ы п л и т ы п р е д п о ­ л а г а ю т с я д о с т а т о ч н о б о л ь ш и м и , д л я того чтобы можно было пренебречь влиянием краев. Усло­ вия однозначности данной задачи, выделяю­ щие измножества решений определенный задан­ н ы й с л у ч а й , с у т ь : 1) н а ч а л ь н ы е у с л о в и я : д л я в р е м е н и t = 0 все т о ч к и п л и т ы и м е ю т о д н у и ту ж е т е м п - р у Т ; 2) г р а н и ч н ы е у с л о в и я : а) с о ­ п р и к а с а ю щ а я с я с обеими сторонами п л и т ы о к р у ­ ж а ю щ а я с р е д а с о х р а н я е т все в р е м я п о с т о я н н у ю т е м п е р а т у р у 0°; б) отдаваемое в е д и н и ц у в р е ­ мени с единицы поверхности количество тепла с с = —Л{ о т в о д и т с я о к р у ж а ю щ е й средой. Его поэтому~можно приравнять произведению