* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

873 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 874 дуля легко притти к следующим выводам: 1) в с я к и й м о д у л ь с о д е р ж и т ч и с л о 0; 2) в с я к и й модуль& с о д е р ж и т к а к п о л о ж и т е л ь н ы е , т а к и о т ­ р и ц а т е л ь н ы е ч и с л а ; 3) в с я к и й м о д у л ь состоит из с о в о к у п н о с т и ч и с е л , к р а т н ы х н а и м е н ь ш е г о положительного числа модуля. Последнее чис­ ло часто т а к ж е н а з ы в а ю т м о д у л е м . Свойства м о д у л я имеют н е п о с р е д с т в е н н о е применение п р и н а х о ж д е н и и общего н а и б о л ь ­ шего д е л и т е л я ч и с е л . П у с т ь и м е ю т с я д в а ч и с ­ л а а и Ъ; р а с с м о т р и м с о в о к у п н о с т ь чисел ах + by, где х и у—независимые д р у г от д р у г а ч и с л а , принимающие всевозможные целые значения. Н е т р у д н о в и д е т ь , что в р а с с м а т р и в а е м у ю с о в о ­ к у п н о с т ь в х о д я т ч и с л а : 0 ( п р и х = у = 0), а ( п р и х = 1; у = 0) и Ъ ( п р и х = 0; у — 1). В о з ь м е м д в а ч и с л а и з этой с о в о к у п н о с т и : ах + Ъу и ах + Ъу . Взяв сумму и л и разность и х , имеем: (ах + Ъу ) ± (ах + Ъу ) = а (х ± х ) + х х 2 2 х х 2 2 г 2 н ы е от д е л е н и я д в у х ч и с е л н а и х о б щ е г о н а и ­ большего делителя суть числа взаимно про­ с т ы е ; 2) е с л и д в а ч и с л а в з а и м н о п р о с т ы е с т р е ­ т ь и м , т о и и х п р о и з в е д е н и е есть ч и с л о в з а и м н о п р о с т о е с т р е т ь и м ; 3) е с л и и м е ю т с я д в а р я д а п о ­ парно взаимно простых чисел, то произведение всех ч и с е л 1-го р я д а есть ч и с л о в з а и м н о п р о с т о е с п р о и з в е д е н и е м в с е х ч и с е л 2-го р я д а . Ч и с л а , и м е ю щ и е с о б с т в е н н ы х д е л и т е л е й , м. б. п р е д с т а в л е н ы в виде п р о и з в е д е н и я э т и х д е л и т е ­ лей, поэтому они называются т а к ж е р а з л о ­ ж и м ы м и , и л и с о с т а в н ы м и , ч и с л а м и в от­ л и ч и е от н е р а з л о ж и м ы х , и л и п р о с т ы х , или п е р в о н а ч а л ь н ы х , чисел, имеющих только несобственных делителей. В с я к о е состав­ н о е ч и с л о м . б. р а з л о ж е н о н а п е р в о н а ­ ч а л ь н ы х м н о ж и т е л е й , т . е . п р е д с т а в л е н о в виде произведения последних. Т . к . нек-рые из про­ стых делителей и л и сомножителей могут повто­ ряться п р и р а з л о ж е н и и , то всякое составное число м. б. представлено в виде n=a bh d ..., (26) где а, Ь, с, — ч и с л а п р о с т ы е , а a, jS, у , . . . — целые положительные числа, причем нек-рые и з н и х м о г у т р а в н я т ь с я 1. С о м н о ж и т е л и , н е п о ­ вторяющиеся, называются п е р в и ч н ы м и . Очевидно, что все делители числа п будут со­ д е р ж а т ь с я в ф-ле 8 = a &b &c & ... I . (27) Нетрудно установить, что число g всех делите­ лей числа п будет равно Q = (« + 1) (/* + 1) (У + 1) • • • ( * + 1). (28) Ч и с л о Q з а в и с и т о ч е в и д н о от ч и с л а п: Q = Q(n). (29) a p v х a v 6 + b(tfi±».). (15) т. е . п о л у ч а е м ч и с л о , п р и н а д л е ж а щ е е к т о й зке с о в о к у п н о с т и , т . к . это есть ч и с л о в и д а ах+Ьу, п р и х= х фх и у == у х ф у . С л е д о в а т е л ь н о р а с ­ с м а т р и в а е м а я с о в о к у п н о с т ь чисел есть м о д у л ь , а поэтому н а о с н о в а н и и в ы ш е п р и в е д е н н о г о 3-го с в о й с т в а м о д у л я о н а э к в и в а л е н т н а сово­ купности кратных наименьшего положительно­ го ч и с л а п м о д у л я . П р и м е н я я д л я э к в и в а л е н т ­ ности з н а к ~>, м о ж н о н а п и с а т ь : х 2 2 ах + by ~ П0, (16) где z—число, принимающее всевозможные це­ л ы е з н а ч е н и я . Д о п у с т и м , что D(a, b) = d. (17) Т. к. по вышесказанному а и Ъ принадлежат к м о д у л ю (16), т о они д е л я т с я н а п, т . е. п—их о б щ и й д е л и т е л ь , а т . к . d — и х н а и б о л ь ш и й об­ щ и й д е л и т е л ь , то d > п. (18) Н о п есть ч и с л о д а н н о г о м о д у л я , т . ч . п = ах&+Ъу&, (19) где х&, у&—нек-рые з н а ч е н и я х и у. Т . к . а и Ъ д е л я т с я н а d, то и п д о л ж н о д е л и т ь с я н а d, с л е ­ довательно n>d. (20) И з (18) и (20) с л е д у е т , что n=d, (21) т . е. ч т о н а и м е н ь ш е е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о м о ­ д у л я ах + by есть общий н а и б о л ь ш и й д е л и т е л ь чисел а и Ь: ах + by ~ D (а, Ь) • п. (22) Отсюда м о ж н о с д е л а т ь и о б р а т н ы й в ы в о д : е с л и D (а, 6) = d, т о м о ж н о п о д о б р а т ь т а к и х д в а ц е ­ л ы х ч и с л а ж & , у&, п р и к - р ы х ax& + by& = d. (23) П у с т ь д а л е е имеем к а к о й - н и б у д ь о б щ и й д е л и ­ т е л ь д ч и с е л а и Ь: а = дп ; Ь = 6п . (24) П о д с т а в л я я (24) в (23), и м е е м : д (щх& + щу&) = d, (25) т . е . d есть т а к ж е д е л и т е л ь и д л я д. Т а к и м об­ р а з о м в с я к и й общий д е л и т е л ь есть т а к ж е д е л и ­ т е л ь и д л я общего н а и б о л ь ш е г о д е л и т е л я . Е с л и D (a,b) = 1, то д р у г и х о б щ и х д е л и т е л е й а и b н е имеют; в этом с л у ч а е о н и н а з ы в а ю т с я в з а ­ и м н о п р о с т ы м и . Н а основе п р и в е д е н н о г о в ы ш е м о ж н о л е г к о д о к а з а т ь н и ж е с л е д у ю щ и е п о л о ж е н и я : 1) ч а с т ­ 1 2 Признаков, н а основании к-рых можно было бы н е п о с р е д с т в е н н о с у д и т ь о т о м , есть л и д а н ­ ное ч и с л о п р о с т о е и л и с о с т а в н о е , д о н а с т о я щ е г о в р е м е н и не у с т а н о в л е н о , т . ч . р а с п о з н а т ь в этом отношении характер данного числа можно толь­ к о п о с л е д о в а т е л ь н ы м д е л е н и е м его н а п р о с т ы е числа. Точно т а к ж е несмотря н а многочислен­ ные п о п ы т к и н е у с т а н о в л е н и з а к о н р а с п р е д е ­ ления простых чисел в ряде н а т у р а л ь н ы х чисел. В Т . ч . п о м и м о ф-ии g (п) р а с с м а т р и в а е т с я е щ е и целый р я д д р у г и х ф-ий. Т а к , рассматри­ в а ю т с я : с у м м а в с е х д е л и т е л е й ч и с л а п, с и м в о ­ л и ч е с к и о б о з н а ч а е м а я / (и); ч и с л о ч и с е л в з а ­ и м н о п р о с т ы х с п и не п р е в о с х о д я щ и х п, к а ­ к о в а я ф - и я о б о з н а ч а е т с я ч е р е з <р (п)—т. н . ф-ия Г а у с с а ; ф - и я , п р е д с т а в л я ю щ а я собой ч и с ­ ло первоначальных чисел, содержащихся ме­ ж д у 1 и и , и о б о з н а ч а е м а я ч е р е з П (п), и т . п . Все э т и ф-ии п р е д с т а в л я ю т собой п р и м е р ч и с¬ л о в ы х ф у н к ц и й , т . е. ф - и й , о п е р и р у ю ­ щих с понятиями Т. ч. Особенно к р у п н у ю р о л ь в Т . ч . и г р а е т р а сп р е д е л е н и е ч и с е л п о к л а с с а м отно­ с и т е л ь н о д а н н о г о м о д у л я , п р и ч е м п о д этим т е р ­ мином подразумевается следующее. П у с т ь име­ ется какой-нибудь модуль M o d (п) ~ ш и д в а к а к и х - н и б у д ь ч и с л а а и Ь. Е с л и р а з н о с т ь чисел а — Ъ п р и н а д л е ж и т к р а с с м а т р и в а е м о м у м о д у л ю , то г о в о р я т , ч т о они п р и н а д л е ж а т к одному и тому ж е к л а с с у относительно данного м о д у л я и л и что они с р а в н и м ы п о д а н н о ­ м у м о д у л ю . Т а к , ч и с л а 17 и 13 с р а в н и м ы по м о д у л ю , п р е д с т а в л е н н о м у р я д о м (14). В этом с л у ч а е д л я а и Ь п р и м е н я е т с я с и м в о л а = Ь (Mod ri). (30)