* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

839 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 840 р я д а событий Е , Е , Е , вероятности к - р ы х о б р а з у ю т р я д ч и с е л p p ,.... р„, то вероятность события Е определится к а к предел, к к-рому стремится р при возрастании п. П р и м е р п р е д е л ь н о г о с о б ы т и я д а е т з а д а.ч а Ч е б ы щ е в а: определить вероятность не­ сократимости рациональной дроби, числитель и знаменатель к-рой написаны наудачу. Рас­ сматривая несократимость дроби ни на какое ч и с л о к а к п р е д е л н е с о к р а т и м о с т и ее н а ч л е н ы ряда последовательных простых чисел, иско­ мую вероятность в ы р а з и м и р р а ц и о н а л ь н ы м чи­ с л о м ~ . Д е й с т в и т е л ь н о , в б о л е е п р о с т о м во­ просе о сократимости ч и с л и т е л я дроби н а чи­ с л о а м о ж н о р а з л и ч а т ь а с л у ч а е в по в е л и ч и н е о с т а т к а от д е л е н и я н а а ( в е л и ч и н ы о с т а т к о в б у д у т : 0 , 1 , 2 , а — 1). В с е эти а с л у ч а е в р а в н о возможны, всевозможны и несовместимы, сле­ довательно вероятность делимости числителя х 2 п lf t п вероятностей искомого и остальных событий, среди которых рассматривается первое. Е с л и из общего числа т статочностей п и п —чис­ л а б л а г о п р и я т с т в у ю щ и х статочностей соответст­ в е н н о я в л е н и й Е иЕ , то относительная веро­ ятность первого я в л е н и я будет: 1 2 г 2 т & т Пх + Пь Теорема у м н о ж е н и я в е р о я т н о ­ с т е й . Вероятность сложного события, со­ стоящего в совпадении двух простых событий, равна произведению абсолютной вероятности одного из н и х на условную вероятность друго­ г о , н а й д е н н у ю в п р е д п о л о ж е н и и , что п е р в о е событие и м е л о м е с т о . П у с т ь и з & т в с е в о з м о ж н ы ^ , несовместимых и равновозможных случаев Ац А , . . . , -4 , А , ..., А , А ^х> ••• > - ^ т 2 И п + 1 П 1 п н а а р а в н а ^ ; то ж е о т н о с и т с я и к з н а м е н а т е л ю д р о б и . Т . о. в е р о я т н о с т ь , ч т о д р о б ь м о ж н о с о ­ к р а т и т ь н а а, п о т е о р е м е у м н о ж е н и я ( с м . н и ж е ) равна ^ • ^ = , а в е р о я т н о с т ь , что сокращение дроби на а невозможно, равна 1 — ^ . Взяв ряд последовательных п р о с т ы х чисел, выразим вероятность А несократимости дроби на 2 . 3 . 5 . 7 . 1 1 . . . (по т о й ж е т е о р е м е у м н о ж е н и я ) бесконечным произведением п е р в ы е Пх с л у ч а е в б л а г о п р и я т с т в у ю т с о б ы т и ю Е , а, п е р в ы е п с л у ч а е в б л а г о п р и я т с т в у ю т Е . г 2 В е р о я т н о с т ь с о б ы т и я Е будет вероятность ж з с о б ы т и я Е п р и у с л о в и и , что событие Е имеет м е с т о , р а в н а ~ , т . к . с л у ч а и А , ...,А х 2 х П1+1 т о т п а д а ю т . Н а к о н е ц в е р о я т н о с т ь п о я в л е н и я обо­ их событий Е и Е р а в н а ^ . Следовательно г 2 7 j 1 т П П Пх т ( 1 - й 0-г.) (&-#••• В з я в обратную величину этого произведения и п р и м е н я я к к а ж д о й из дробей ф-лу получим: 1 = . Т е о р е м а м . б. в ы р а ж е н а ф - л о й : (ЕхЕ ) = (Ex) (Е , Ex) = (Е ) (E 2 2 2 2 г 2 2 lt Е ), 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 , известно, П р а в а я ч а с т ь этого в ы р а ж е н и я , к а к р а в н а — , следовательно А — где (ЕхЕ )—вероятность п о я в л е н и я событий Е и Е в м е с т е ; (Ех) и (Е )—соответственно вероятности событий Е и Е ; (Е ,Е )—веро­ ятность события Е , когда известно существо­ в а н и е Е ; (E E )—вероятность события Е, когда известно существование Е . Правиль­ н о с т ь о б о б щ е н н о й т е о р е м ы , в ы р а ж а е м о й ф-лой (Е,Е ... E ) = (Е ) (Е ,.Ех) (Е , Е Е ) ... (Е^ЕЛ.-Е^х), (А) х 2 2 г 2 г lf 2 г 2 2 t г 2 3 Х 2 Основными теоремами Т. в. я в л я ю т с я теоре­ ма сложения вероятностей и теорема умноже­ ния вероятностей. С л о ж е н и е в е р о я т н о ­ с т е й . Е с л и событию благоприятствуют не­ совместимые с т а т о ч н о с т и п , п , п ,... , то ве­ роятность события р а в н а сумме вероятностей всех т а к и х статочностей. Действительно: х 2 я _ " TU + r u - J - T n - b . « i in т , ^1 rn I з _[_ т п ИЛИ P = P l + P2 + P 3 + ••• , где т—число всех статочностей п р и данном с о б ы т и и . С л е д с т в и е : е с л и одно и з в с е в о з ­ м о ж н ы х несовместимых я в л е н и й данной груп­ пы должно осуществиться, причем р, р , р , ..., р —вероятности этих я в л е н и й , то г 2 3 п л е г к о о б н а р у ж и в а е т с я з а к л ю ч е н и е м от п к п + 1 (методом м а т е м а т и ч е с к о й и н д у к ц и и ) . С о б ы т и я Ех и Е н а з ы в а ю т н е з а в и с и м ы ¬ м и, е с л и б е з у с л о в н а я в е р о я т н о с т ь о д н о г о и з н и х равна условной вероятности его, вычисленной в п р е д п о л о ж е н и и , что д р у г о е событие и м е л о м е с т о , т . е. с о б ы т и я Е и Е н е з а в и с и м ы , е с л и в е р о я т н о с т ь о д н о г о и з н и х н е и з м е н я е т с я от т о г о , и м е л о л и место- д р у г о е событие- и л и н е т . Т е о р е м а о в е р о я т н о с т и с л о ж н ы х событий д л я с л у ч а я независимых событий выразится т а к : вероятность сложного события, состоящего из совпадения нескольких простых независи­ мых событий, равна произведению абсолютных в е р о я т н о с т е й э т и х п р о с т ы х с о б ы т и й . Ф - л а (А) •примет в и д : 2 г 2 (E E L 2 ... Ef) = (Ex) (Е )... 2 (Ед- (В) Р1 + Р2 + Р3 + ••• + Р я = 1 (Вероятность осуществления одного из собы­ т и й р а в н а Pi+ p + . . . + р у это о с у щ е с т в л е ­ ние достоверно). Р а с с м о т р е н н ы е в е р о я т н о с т и н а з ы в а ю т с я а бс о л ю т н ы м и ( б е з у с л о в н ы м и ) . Вероят­ ность я в л е н и я Е , найденную в предположении, что и м е л о место с о б ы т и е Е , н а з ы в а ю т о т н о ­ с и т е л ь н о й (условной) вероятностью. Относительная вероятность события среди дру­ г и х е с т ь ч а с т н о е от д е л е н и я а б с о л ю т н о й в е р о я т ­ ности искомого события на сумму абсолютных и z П г г П р и м е р . И з ящи,ка, содержащего а белых и Ь черных шаров, извлекают наудачу после­ д о в а т е л ь н о т р и р а з а п о одному ш а р у , п р и ч е м к а ж д ы й вынутый ш а р перед следующим извле­ чением в о з в р а щ а ю т в я щ и к . Определить ве­ р о я т н о с т ь т о г о , что п е р в ы й ш а р о к а ж е т с я б е ­ лым, а остальные два черными.—Здесь слож­ ное событие состоит и з т р е х п р о с т ы х н е з а ­ в и с и м ы х с о б ы т и й . Вероятность появле­ н и я в 1-м с л у ч а е б е л о г о ш а р а е с т ь : а . а+Т&