* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

mi ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ Так как х = %(Н-у), 692 •откуда после преобразований ф-лы д л я опре­ деления Ц . т . линии получают следующий вид: Т. & У = т. то Jydm где L—длина лйнйи. Вспомогательными теоремами при определении Ц. т. служат следующие. 1) Если данный объем (поверхность, &1 линия) имеет плоскость симметрии, то Ц . т. лежит в плоскости симметрии. 2) Если данный объем (поверхность, линия) имеет ось симметрии, то его Ц . т. лежит на оси симметрии. 3) Ес­ ли данный объем (поверхность, линия) имеет центр симметрии, то его Ц . т. лежит в центре симметрии. 4) Если данный объем (или поверхность) со­ стоит из нескольких частей, то Ц . т. может быть опре­ О ! е делен к а к Ц . т. нескольких т Ц—Зсм—>i материальных точек, полу­ чаемых, если сосредоточить Ф и г . 1. вес каждой отдельной части в ое Ц . т., напр. Ц . т. уголка (фиг. 1) опре­ делится сл. обр.: • / СМ я - J& ^ Я (Н - у)* у dy = 2 30 М = $dm = j&^(H-y)*ydy = 12 Следовательно у - /» dm М - 8-0,5 + 2 8+ 2 8 • 4 + 2 • 0,5 = 8+ 2 = 0,8 = 3,3 СМ, СМ. У Применим методы интегрального исчисле­ ния к нахождению сумм ?р -ж -, ?ж,Ди -. П р и ­ м е р 1. Найти Ц. т. дуги, составляющей чет­ верть окружности (фиг. 2). Если x +y = a •есть ур-ие окружности, то г г г z 2 z В нек-рых случаях Ц. т. площадей и линий очень просто определяются на основании двух т е о р е м П а п п а ( Г у л ь д е н а ) . 1) Если плоская линия вращается вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии, но не пересекающей ее, то образующаяся поверхность численно равна произведению длины вращающейся ли­ нии на длину пути, описанного Ц. т. этой ли­ нии. 2) Если плоская фигура вращается во­ круг оси, лежащей в ее плоскости, но этой фи­ гуры не пересекающей, то объем получающе­ гося тела вращения численно равен произве­ дению площади вращающейся фигуры н а длину пути, описанного ее Ц. т. Приложим послед­ нюю теорему к нахождению Ц. т. полукруга. Если полукруг вращается около своего диа­ метра, то яа 3 =2 щ з я а 3 откуда - dl = Ydx*+dy* = dx J ydl=J у .^dx = a, 2 4а Зя& Применение веревочного много­ у г о л ь н и к а к о п р е д е л е н и ю Ц.т. ц л о щ а д е й. Разбивают площадь мн-ка (фиг. 4) о тсюда у dl У = a2_ T To же значение имеет x (в виду симметрии). П р и м е р 2. Найти Ц . т. прямого круглого конуса, плотность ко­ торого возрастает про- на части, положение Ц. т. к-рых известно, и прикладывают в Ц . т. вертикальные силы, про­ порциональные площадям. Построив веревоч­ ный мн-к, продолжают крайние стороны его и через точку пересечения их проводят прямую Ф и г . 3. Ф и г . 2. I, параллельную силам; она и будет линией порционально расстоянию слоя от основания действия равнодействующей. Повернув силы (Н — высота конуса, R — радиус основания). вокруг точек их приложения на нек-рый угол, Разделив конус на слои, параллельные основа­ строят снова линию действия 11 равнодейст­ нию, рассмотрим слой на расстоянии у от осно­ вующей. Искомый Ц. т. находится в точке пе­ в а н и я (фиг. 3). Отбрасывая бесконечно малые ресечения С обеих линий действия равнодей­ высших порядков, примем объем слоя равным ствующей. Если мн-к имеет ось симметрии, по­ nx&^-dy, а плотность его равной Jcy, где А = Const. строение второго веревочного мн-ка излишне. ; Т . о. масса слоя На фиг. 4 силы повернуты вокруг С, С и С на 90°, и потому веревочный мн-к Т,2&, 3&, 4& dm = Теш у dy. 2 % 2