* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

419 ФУРЬЕ ТЕОРЕМА 420 {жиров, масел, сухого молока) и биологических препаратов; предложен к а к средство борьбы с сорняками. 4) Ф . употребляется д л я придания аромата курительному табаку, служит реак­ тивом на кунжутное масло (при технич. ана­ лизе маргарина), а в смеси со скипидаром ис­ пользуется к а к искусственная олифа. 5) Ф. может применяться для дубления кожи к а к самостоятельно, так и в виде нек-рых его пре­ паратов (синтаны); вопрос этот находится еще в стадии изучения. 6) Некоторые производные Ф. (фурфургидрамид, тиофурфурол и др.) упо­ требляются к а к ускорители вулканизации ка­ учука. 7) Ф. неоднократно предлагался как исходный материал д л я синтеза ряда души­ стых веществ; таковыми являются первые про­ дукты конденсации типа С Н 0 - С Н : Х , где X — двухвалентный радикал, содержащий альде­ гидную, кетонную, спиртовую или этерифицированную карбоксильную группу. Фурфур­ гидрамид ( C H 0 - C H ) N применяется в пар­ фюмерии. 8) Конденсацией Ф. с ароматическими аминами м. б. получены вещества со свойства­ ми красителей, которые однако еще не имеют промышленного значения. Многие продукты замещения, конденсации и гидрирования Ф. могут приобрести значение к а к растворители, фармацевтич. препараты или средства борьбы с вредителями. А н а л и т ц ч . о п р е д е л е н и е . А) Каче­ ственные реакции. 1) При действии на Ф. ани­ лина или ксилидина в присутствии НС1 или уксусной к-ты—яркокрасное окрашивание, с бензидином—фиолетовое. 2) Наиболее чувстви­ тельна (1:600 000) реакция Ф. с орцином—-синее окрашивание, извлекаемое амиловым спиртом. Б) Количественное определение. 1) Объемный метод: Ф. в HCl-растворе окисляют избытком К В г 0 , затем прибавляют K J и титруют выде­ лившийся иод гипосульфитом. 2) Весовой ме­ тод: осаждение Ф. флороглюцином в виде про­ дукта конденсации—Ф.-флороглюцида С Н 0 . 3) Аналогичное осаждение Ф. в виде продук­ тов конденсации с пирогаллолом или с бар­ битуровой к-той или с тиобарбитуровой к-той. 4) Выделение Ф. фракционной перегонкой ис­ следуемой смеси. Д л я идентификации Ф. слу­ жит его фенилгидразон (t° 97°). 4 3 4 3 3 2 3 а 8 4 nJl C h e m i c a l M a n u f a c t u r e r , 1927, v . 3, p . 243; U г b a n u s W . , « K u n s t s t o f f e » , M c h . , 1927, B . 17, p . 29 u . 86 ( с и н т е т и ч . смолы); B a r r y Т . , « T h e I n d u s t r i a l Chemist*, L . , 1930, 12 ( п р о и з в о д с т в о ) ; M a h o o d S . a. A l d r i c h H., « J o u n j . of A m e r i c a n C h e m i c a l S o c i e t y » , 1930, v . 52, p . 4 4 7 7 (производные Ф . ) ; G e n i n G . , «Matieres plastiques», P . , 1931, t . 7, 2, p . 89; P h i 1 1 i p s M . a. W e i h e D . , « C h e m i c a l A g e » , L . , 1931, v . 24, p . 557 ( с м о л ы ) ; U l l m . E n z . , 2 A u f l . , B . 5, p . 442. В . Янновский. Ф У Р Ь Е Т Е О Р Е М А . Франц. математик Ж а н Баптист Жозеф Фурье (1768—1830 гг.) впервые сформулировал свою знаменитую теорему в начале прошлого столетия следующим обра­ зом: всякая периодич. функция м. б. представ ле­ на в виде конечного или бесконечного ряда f ( ) = ^° + + г «1 cos t + а cos 2t + а cos М + ... + 2 3 2 3 sin t + 6 sin 2t + 6 sin 3t + ... 2л йл (1) Коэфициенты этого ряда имеют вид а = ~ ?f(t)cosnt п • dt, j (2) °n = ~ f fit) sinwf-dtf. f Первый член ряда представлен в виде у-, потому что при подстановке в выражение для а п = 0 мы получим этот коэф. в& виде —-. Покажем, что если данная ф-ия м. б. пред­ ставлена в виде указанного ряда, коэф-ты а и Ъ должны иметь вышеуказанный вид. Т . к . обе стороны ур-ия (1) идентичны для всех значений t, то они должны оставаться иден­ тичными и после совершения над ними оди­ наковых операций. Умножим обе части этого ур-ия на dt и проинтегрируем их в пределах от t = 0 до t = 2 я . п п п 2л 2п Т.к. J cos nt • dt = 0 и J sin nt • dt = 0, о и то" мы имеем: 2л 2л jf(t)dt о = ^- J dt = я о , 0 о Лит.: У ш а к о в С , И с к у с с т в е н н ы е с м о л ы , Л . , 1929 (смолы и з Ф . , перечень патентов); Д е с н е р Г.,«Маслоб о й н о - ж и р о в о е д е л о » , М . , 1929, 9 (50), с т р . 32; е г о ж е , т а м ж е , 1931, 2—3, с т р . 36; Р а й г о р о д с к и й М., т а м ж е , 1931, 8—9, с т р . 62; Ч е т в е р и к о в Н., т а м ж ё , 1 9 3 2 , 3, с т р . 50; Ч е л и н ц е в В. и В о р о б ь ­ е в а А . , « Ж Х П » , M . , 1933, 2, с т р . 27; Д е с н е р Г., « Ж Х П » , 1930, т . 7, с т р . 695 ( ф и з и ч . с в о й с т в а Ф . ) ; М и р л и с Д . , т а м ж е , 1931, т . 8 , с т р . 697; Г о ф м а н М. и К о р н е в и ч К . , « Х и м и я т в е р д о г о т о п л и в а » , М . , 1930, 5, с т р . 51 ( п р и м е н е н и е Ф . д л я о ч и с т к и а н т р а ц е н а ) ; Обо­ р и н В . , « Ж у р н а л п р и к л а д н о й х и м и и » , М . , 1930, т . 3, с т р . 231; П о р а й - К о ш и ц А . и И т т е н б е р г Ш., т а м те, 1 9 3 2 , т . 5, с т р . 761 ( п р и м е н е н и е Ф . в т е к с т , д е л е ) ; П о р а й-К о ш и ц А., К у д р я в ц е в Н. и М а ш к и л е й з б н Б . , т а м ж е , 1 9 3 3 , т . 6, с т р . 685 ( м е х а н и з м к о н ­ денсации Ф . с фенолом); О р л о в Н. и Р ы к л и с С , т а м ж е , 1 9 3 3 , т . 6, с т р . 910; Д е р и б а с Д . и Ш и л л е р Г . , «Вестник кожевенной промышленности», M . , 1931, 7, с т р . 347; Д е р и б а с Д. и Ш и л л е р Г . , Ко• ж е в е н н о - о б у в н а я п р о м - с т ь С С С Р , М . , 1 9 3 2 , 10, с т р . 601 (дубильные вещества и з Ф . ) ; «Бюллетень пластмасстроя», M . , 1931 ( м а т е р и а л ы к о н ф е р е н ц и и п о Ф . п р и Н И С П Т Э У В С Н Х ) ; П о р а й - К о ш и ц А . , С о в . П . 1868/1924 ( п о ­ л у ч е н и е Ф . и з л у з г и ) ; П о в а р н и н , С о в . П . 16199/1927 ( п о л у ч е н и е Ф . и з н а д с м о л ь н о й в о д ы ) ; А н . П . 340102/1930; « I . E n g . C h e m . » : 1918, v . 10, p . 925; 1 9 2 1 , v . 13, p . 133, 499, 8 2 3 , 1 0 2 4 ; 1 9 2 3 , v . 15, p . 65, 499, 823, 970, 1057, 1167, 1255; 1924, v . 16, p . 130, 356; 1926, v . 18, p . 812, 1217; 1 Э 2 7 , v . 19, p . 422; M i n e r C , T r i c k ley J . a. B r o w n l e e H . , «ChemicaI a. Metallurgical Engineeri n g » , N . Y . , 1922, v . 27, p . 299 a. 362 ( п р и в е д е н а л и т . п о 1921 г . ) ; « C h e m i c a l T r a d e J o u r n a l * , L . , 1926, v . 78, p . 407, v . 79, p . 761; F a i r b r o t i e r H . , « I n d u s t r i a l C h e m i s t a. Это и есть значение интеграла, получаемое при подстановке п = 0 в ур-ия (2). Умножим теперь обе стороны ур-ия (1) на cos nt • dt и проинтегрируем его в пределах от 0 до 2 я . 2л Т. к. J cos mt • cos nt • dt — 0, если m не равно n о или равно л, кроме этого 2л J sin mt • cos nt • dt = 0, о то, если m = n, мы имеем: 2л m 2л 2 п J f (t) cos nt • dt = a J cos nt • dt = ла . о 0 Таким же образом, умножив обе стороны ур-ия (1) на sin nt • dt, проинтегрировав их в пределах от 0 до 2 я и принимая во внимание, что 2я J sin mt • sin nt • dt = 0, о