* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

413 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 414 Из предыдущего видно, что Ф. можно рас­ сматривать как первично заданную, но можно исходить и от геометрически заданной кривой. Кроме того существует т а б л и ч н ы й с п о ­ с о б задания Ф., напр. для ?/=sin ж, где не ука­ заны арифметич. действия, посредством к-рых можно было бы по данному значению ж вычис­ лить соответствующее значение у. При таблич­ ном задании значения Ф. приведены только че- лексные значения w и z определяются также векторами OQ и ОР (фигура) в плоскостях UOV, XOY (см. Комплексные числа). Наибольший интерес в анализе представ­ ляют а н а л и т и ч е с к и е Ф. к. п., w = = f (z) = и - f iv, обладающие производными ~ , , зависящими только от z и не завися.щими от dz. Необходимым и достаточным ус­ ловием для того, чтобы данная Ф. к. п. была аналитической, являются ур-ия Коши-Римана: дх~ ду , ^ду~~дх& V ) 1 Фиг. 5. ФИГ. 6. рез определенные интервалы; для вычисления значений Ф., соответствующих промежуточным значениям ж или выходящих за пределы табли­ цы, применяются приемы, носящие название интерполирования (см. Вычисления приближен­ ные) или экстраполирования (см.). К л а с с и ф и к а ц и я Ф. — см. Исчисление бесконечно малых. Ф. о т м н о г и х п е р е м е н н ы х . Если ка­ ждой паре значений ж и у соответствует по ка­ кому-нибудь закону значение и, то и называ­ ют Ф. от независимых переменных ж и у. То же относится и к большему числу независимых переменных. При непрерывно изменяющейся паре аргументов точка (ж, у) может быть вы­ брана где угодно внутри определенной о б л а с¬ т и А плоскости XOY (аналогично и н т е р в а л у для одной независимой переменной). Область А может состоять из части плоскости, ограничен­ ной единственной замкнутой кривой ( о д н о с в я з н а я о б л а с т ь , фиг. 5); область А ж. б. ограничена несколькими замкнутыми кривыми ( м н о г о с в я з н а я о б л а с т ь ) . Число огра­ ничивающих кривых определяет «число связ­ ности». На фиг. 6 дана трехсвязная область. Геометрически Ф. от двух переменных мож­ но представить с помощью поверхностей, рассматривая пространственную систему координат ж, j / и м . Другое геометрич. изображение хо­ да Ф. достигается с помощью л и н и й у р о в н я (линий р а в н ы х в ы с о т , линий р а в н ы х г л у б и н и т. д.). На фиг. 7 приведены линии ФИГ. уровня функции и = ж -f- у . См. также Эллиптические функции, Шаровые функции. 2 2 Аналитические Ф. к. п. осуществляют конформ­ ное отображение (см.) точек плоскости XOY на точ­ ки плоскости UOV. Ф. к. п. позволя­ ют обобщить наши представления об обычных ф-иях действитель­ ного переменного. Так, показательная Ф. к. п. z определяется как сумма ряда f(*) = l + f + (2) + ^! + равномерно сходящегося для всех значений z. Диференцируя почленно этот ряд, получают тот же самый ряд. Т. о. f (z) = f {z). Р а з л а г а я ф-ию f (z) в ряд Тейлора, получают поэтому: f{e+h) = f{e) + f{z)+ ... +~t(z)+ ...= Лит.: К у р а н т Р., К у р с диференциалъного и ин­ т е г р а л ь н о г о и с ч и с л е н и я , ч . 1 и 2, п е р . с н е м . , 2 и з д . , М . — Л . , 1931; с м . т а к ж е Дифференциальное исчисление и Интегральное исчисление. В. Н и к а н о р о в . ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, ф-ии вида w — и + iv, действительная и мни­ мая части к-рых зависят от действительной и мнимой частей ж и у комплексного переменного г = х + гу, где г = У— 1. Д л я графич.изображе­ ния этой зависимости обычно считают ж, у координатами точки в плоскости XOY (точка г), а ф-ии и, v—координатами точки в плос­ кости UOV (точка w). Функциональная зависи­ мость между w и z иллюстрируется графически соответствием между точками w и z. Комп- = f ( * ) ( l + I + ... + ?+-)=t(*)f(h). Ф-ия f(z) удовлетворяет функциональному ур-ию f ( & + * ) = /(*)/<*). как и обычная ф-ия е . Поэтому можно эту Ф. к. п. назвать к о м п л е к с н о й с т е п е н ь ю от е и обозначить в виде f(z) = e*. Принимая во внимание ф-лу Эйлера (см. Ком­ плексные числа) е У — cos у + г sin у, можно написать х+гу _ x iy _ х ( у _|_ ^. [ уу Отсюда следует, что е —периодич. ф-йя с мни­ мым периодом 2 яг. Поэтому хотя e = cos 2 л + г sin 2 л -•= 1 = е°, но отсюда совсем нельзя заключить, что 2яг = = 0. Понятие о показательной Ф. к. п. позво­ ляет определить логарифм отрицательного чис­ ла. В самом деле, -а = ае ** поэтому In (— а) = In а + гл + 2 клг, напр. In (— 1) = 1л. Логарифм—многозначная ф-ия, но различныезначения логарифма отличаются друг от дру­ га на мнимые числа, кратные 2 яг. Ф . к. п. позволяют также расширить представления о тригонометрии, ф-иях. Синус и косинус ком­ плексного аргумента z определяют при помощи рядов: х { е e e е c o g & п г 2ni ы кя 23 , Z 5 1 - — + -— А 2! ~ 4!