* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

331 ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЯ 332 м а т и к е. 1) Д и ф е р е н ц и а л ь н о е у р - и е с л е д у ю ­ щего вида: dy dy n ,_ г 2 d»-*y с т а в л я ю щ и х в е к т о р а н а т у ж е о с ь , то и м е е м , о б о з н а ч а я п р о е к ц и и со н а оси ?, п, С ч е р е з р, q, г: Р& = Pi + Ра + Рз = Ж COS <р + Sin 0 Sin 9? : + .•• + a_x n x й 2 + a y = 0, n (1) 2 = 2i + 2а + — к а к о й - л и б о к о р е н ь у р - и я (2), то ч а с т н ы м и н т е г р а л о м у р -ия (1) будет и 2 0 sin 9? + ~ sin & cos 9?, г = г + г, + г . = ? + ? c d s 0 . Э т о — к и н е м а т и ч . у р - и я Э й л е р а . В соответст­ в и и с э т и м и м е ю т с я еще 3 у р - и я , у с т а н а в л и в а ­ ющие динамич. за­ кон движения твер­ дого тела около сво­ ей н е п о д в и ж н о й т о ч ­ к и . Д о п у с т и м , что т а ­ кое т е л о н а х о д и т с я п о д в о з д е й с т в и е м вне­ шних сил F , F ,F , точки приложения к-рых определяются относительно точки О радиусами - вектора­ м и г , г. , г . В о з ь м е м к а к о й - л и б о э л е м е н т т е л а , м а с с а к - р о г о р а в н а Ли,-, к к о т о р о м у п р и л о ж е н а в н е ш н я я с и л а F, и р а в ­ нодействующая всех внутренних сил Приме­ н я я к э т о м у э л е м е н т у т е о р е м у м о м е н т о в (см. Ме­ ханика теоретическая), имеем, о б о з н а ч а я м о м е н ­ т ы с и л Fi и FI о т н о с и т е л ь н о О ч е р е з M и М: x % 3 х г 3 t Vr = Cia~ i*(f*=l, 2, п), где С/<—произвольные п о с т о я н н ы е . Е с л и все к о р н и у р - и я (2) р а з л и ч н ы , то о б щ и й и н т е г р а л у р - и я (1) б у д е т п z y = C x ^ + C. x * + ... + С х = Е с л и и з ч и с л а п к о р н е й у р - и я (2) v к о р н е й р а в ­ ны м е ж д у собой, т. ч. z = Z-x = . . . = z = z, а о с т а л ь н ы е к о р н и р а з л и ч н ы , то о б щ и й и н т е ­ г р а л у р - и я (1) б у д е т р а в е н 1 2 п r v z z 2п 2 ^ - C Z>1 У = [С +C lnx 0 1 + Cs ( I n ж) + . . . + С„ ( I n ж)"] x + ... + С „ ж г 2 z + + 2) Р а в е н с т в а , и л и ф-лы, Э й л е р а cos х + г sin х = е гх у - &Mi + М& { = [Fi • г,-] + {Fi • n l = -*t [Лт чг ], г { cos ж — г sin ж = е & * / получаемые разложением в р я д ы тригонометрич. и п о к а з а т е л ь н ы х ф-ий ( с м . Дифферент гщальное исчисление). В т е о р е т и ч е ­ ской механике. Е с л и тело вращается вокруг неподвижной т о ч к и О с у г л о в о й ско­ ростью, вектор кото­ р о й р а в е н со ( л и н и я д е й с т в и я в е к т о р а сов­ падает с мгновенной Фиг. 1. осью в р а щ е н и я в д а н >! -{- со + со , п р и ч е м н ы й м о м е н т ) , то со 2 3 где щ — в е к т о р н а я с к о р о с т ь э л е м е н т а . Т . к . сумма моментов всех внутренних сил относи­ т е л ь н о к а к о й - л и б о т о ч к и р а в н а н у л ю , то где Ж — г л а в н ы й м о м е н т н ы й в е к т о р системы в н е ш н и х с и л о т н о с и т е л ь н о О; и н т е г р а л в п р а ­ вой части в з я т по всему объему тела. Проекти­ р у я обе ч а с т и п о с л е д н е г о р а в е н с т в а н а ось х и о п у с к а я индексы, имеем M = Jdm x (y ^-z ^). d d С д р у г о й с т о р о н ы , имеем v — [cor] и следовательно: h&9, dip dt 1? 2 3 dt где со co , со — к о м п о н е н т ы по н а п р а в л е н и я м С, ON, z ( ф и г . 1 и 2), а у, гр и эйлеровы углы ( с м . ) . В свою о ч е р е д ь с п р о е к т и р у е м в е к т о р ы ш со , со н а о с и | , п, ?, о б о з н а ч и в к о м п о н е н ­ ты векторов по этим осям соответственно че­ р е з 2> q гц q г. ; р , q , г , п р и этом получаем непосредственно: ъ 2 3 ъ i} lf л 3 3 3 В з я в вторые производные, получаем М х = j dm у** 3 {у + z*) + со,со {у - z ) 3 е х 2 2 2 + + zx). P i = P; da d 2 t a 21 = 0;&^ = !?, da + А ^ ^ ж % р = - - соз со; ff = 3 sm . & r = 0. 2 + со ш а J dm {у2 2 - z) + J J dm d m w ^^ху, + ^ уз, В е к т о р ж е co р а з л а г а е м в свою о ч е р е д ь п р е д ­ в а р и т е л ь н о по н а п р а в л е н и ю оси f и по п е р ­ п е н д и к у л я р н о м у к э т о й о с и н а п р а в л е н и ю , т . е. по н а п р а в л е н и ю , п е р п е н д и к у л я р н о м у к п р я ­ м о й ON, п о с л е ч е г о п о л у ч а е м : dv> . Ps = - J s i n d Так как + z) l J dm (у - г ) = I - I , где l , lyTs. l —моменты инерции тела относи­ т е л ь н о осей х, у, z, то M = lj?+ (I -I )co. co + 2 г x S y x J dm {у = z sin 9?; 8 dtp q 3 dt sin p соз 9?; x z y 2 3 r =^rcoa0. Т . к. проекция равнодействующего вектора на к а к у ю - л и б о ось р а в н я е т с я с у м м е п р о е к ц и й с о ­ + J dm 2 х уя>. zx )- Е с л и за неподвижные оси в з я т ь мгновенное по­ л о ж е н и е г л а в н ы х осей и н е р ц и и т е л а относите л ь -