* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

515 КВАНТОВАЯ М Е Х А Н И К А 516 Это соотношение наз. п е р е с т а н о в о ч н ы м . В некоммутивностн операторов координаты и импульса находят отра­ жение соотношения неопределенностей. Именно, если опера­ торы коммутируют, то соответствующие им физич, величины могут иметь одновременно определенное значение; если опе­ раторы не коммутируют, то соответствующие величины не могут одновременно иметь определенное значение. Наибольший интерес представляют операторы момента и энергии. Оказывается, что для определения их связи с опера­ торами импульса и координаты необходимо поступать по ана­ логии с классич. механикой. Как известно, момент количества движения связан с импульсом и координатой так: М = [гр]; в соответствии с этим M = [QP] состояния равновесия, происходящие иод действием квазиупругой силы, — так наз. линейный г а р м о ­ н и ч е с к и й о с ц и л л я т о р . Примером осцил­ лятора могут с л у ж и т ь малые колебания атомов в д в у х ­ атомной молекуле. Интересно сопоставить поведение гармонич. осциллятора в классич. механике и в К. м., т . к . это д а е т в о з м о ж н о с т ь в с к р ы т ь р я д с п е ц и ф и ч . свойств к в а н т о в ы х процессов. На рис. 7, а показана зависимость потенциальной энергии U (х) осциллятора от смещения частицы и з положения равно¬ весия х : U (х) = — ^ — (со — круговая частота колебаний). Классич. осциллятор может совершать колебания с любой энергией Е; его энергия может равняться и нулю, т. е. он мо­ жет и покоиться в состоянии равновесия (вточке х 0). Очевидно, колеблющаяся частица может находиться только в таких точках, для к-рых потенциальная энергия U меньше ее полной энергии Е ; кривая OU определяет пределы возмож­ ных значений х, т. к. при выходе частицы за эти пределы (об­ ласть II на рис.) энергия осциллятора оказалась бы меньше потенциальной энергии, что невозможно (в этом случае ки­ нетич. энергия стала бы отрицательной, а скорость частицы — мнимой). Область I I , в к-рую не может проникнуть частица, ограничена кривой OU; эта область наз. п о т е н ц и а л ь- или Мih th Oz & _Э_ Z Оу (12) дх [X •*0г) М, = ih Можно показать, что определенные значения в связанном .состоянии имеют только операторы момента и одной из его составляющих; другие же две составляющие оператора момента в данном состоянии не имеют определенного значения. Таким ж е образом находят вид оператора энергии. В классич. механике полная энергия -Е ча­ стицы массы т связана с ее им­ пульсом и координатами след. Г 1 ~,ь—h образом: л / V ? гарм j „ л л Л А ? /1 „ ~~~ — j у / / Первый член представляет собой 1 1 1 E Я ч 2 и ( ( 1 3 ) Оператор энерги и может включать, кроме потенциальной энергии, и члены, характеризующие другие типы взаимодей­ ствия. Подействовав данным оператором&энергии, или гамильтонианом,на&ф-функцию, описывающую состояние электрона в атоме или молекуле, мы получим собственное значение энергии в этом состоянии: Н-ф = Ej-ф или в развернутом виде: то есть уравнение Шредингера для стационарных состояний квантовых систем. С т а ц и о н а р н ы е с в я з а н н ы е с о с т о я н и я . С в я з а н н ы е со­ стояния электрона, принадлежащего определенному атому и л и м о л е к у л е , представляют особый интерес д л я ф и з и к и и х и м и и . Т а к и е с о с т о я н и я и м е ю т место, к о г д а э н е р г и я э л е к т р о н а о т р и ц а т е л ь н а (т. е. к о г д а е г о средняя кинетич. энергия меньше средней потен­ ц и а л ь н о й ; п р и этом п о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я э л е к т р о н а на б е с к о н е ч н о с т и п о л а г а е т с я р а в н о й н у л ю ) . К а к у ж е было отмечено, совокупность с в я з а н н ы х состоянии, в к-рых может находиться электрон в заданном поле, образует п р е р ы в н ы й р я д ; они к в а н т о в а н ы . Энергия этих состояний может принимать лишь определенные значения (дискретные у р о в н и э н е р г и и ) ; ди­ скретными являются также и возможные значения момента количества д в и ж е н и я и одной из его проек­ ций. П р и п е р е х о д е системы из одного состояния в другое квантовые числа изменяются скачком. Нахождение решений ур-ния Шредингера д л я таких состояний позволяет определить возможные значения э н е р г и и , ф о р м у э л е к т р о н н о г о о б л а к а , а н а этой ос­ нове — физич. свойства микросистем. П р о с т е й ш и м (и о ч е н ь в а ж н ы м ) с л у ч а е м с в я з а н н о г о состояния микрочастицы я в л я е т с я состояние, в к-ром частица массы т совершает малые колебания около н ы м б а р ь е р о м . Область J наз. п о т е н ц и а л ь н о й я м о й . Таким образом, движение колеблющейся макроча­ стицы может совершаться вдоль любой прямой PQ (т. е. с лю­ бой энергией). Если определить вероятность местонахождения колеблющейся макрочастицы в разных точках (по длительности ее пребывания вблизи каждой точки), то распределение ве­ роятностей имеет вид, изображенный на рис. 7, б пунктирными линиями. Из этих кривых видно, что наиболее велика вероят­ ность обнаружить колеблющуюся макрочастицу вблизи точек поворота, где скорость ее равна нулю. Совершенно иная картина получается в К. м. Решения ур-ния Шредингера для этой задачи представляют собой дискретную последовательность •ф-функций; микрочастица может находиться не в любых стационарных состояниях, а лишь в таких, энергия которых квантована и принимает зна­ чения v E = f i c o ( n + i/2) (14) где п может быть любым целым положительным числом, вклю­ чая нуль (т. с. п равно 0, 1, 2, . . . ) . На рис. 7, б показаны •ф-функции (точнее, -ф-) для нескольких «дозволенных» состоя­ ний (для п — 0,1, 2, 10). Из рисунка видно, что распределение вероятностей локализации микрочастицы резко отличается от распределения вероятности местонахождения классич. ча­ стицы; напр., в состоянии с п = О наибольшую вероятность имеет локализация колеблющейся микрочастицы вблизи по­ ложения равновесия (х = 0). Только для больших чисел п распределение вероятностей приближается к классич. распре­ делению (напр., для п = 10). Следует обратить внимание н а то, что даже в низшем энергетич. состоянии, при п = 0, энергия квантового осциллятора равна не нулю, a Асо; это — т. наз. н у л е в а я э н е р г и я . Е е значение находится в согласии с соотношением неопределенности (2). Энергия квантового осциллятора, следовательно, при л ю ­ бом переходе от одного стационарного состояния в другое изменяется на одну и ту же величину Ясо. Как доказывается в К. м., возможны только такие переходы осциллятора, для к-рых п изменяется на ± 1. Таковы особенности простейшей квантовой системы — осциллятора. В классич. физике также известны процессы с прерывно изменяющимися частотами — это стоячие волны в ограничен­ ных средах (струне, мембране и т. п.) (рис. 8). Там прерыв­ ность частот обусловлена наличием жестких границ, в к-рых могут совершаться лишь нек-рые стационарные колебательные процессы; можно сказать, что в таких системах дозволенные n