* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Оконное преобразование Фурье 1219 Обратное преобразование цифровой информации в аналоговую выполняют цифро аналоговые преобразователи – ЦАП. Как часто надо делать равномерные выборки произвольного сигнала, чтобы после преобразования в цифровую форму, а затем снова в аналоговую была сохра нена форма сигнала? Ответ на этот важный вопрос дает теорема об отсчетах, или теорема Котельникова (за рубежом именуема также теоремой Найквиста): «Если спектр сигнала e(t) ограничен высшей частотой fв, то он без потери информации может быть представлен дискретными отсчетами с числом, равным 2·fв». При этом сигнал восстанавливается по его отсчетам e(k·dt), следующим с интервалом времени dt, с помощью фильтра низких частот, реализующего восстановление по формуле . (15.12) Для восстановления непрерывного сигнала по его выборкам достаточно распо лагать функцией sinc(x)=sin(x)/x с учетом ее особого значения sinc(x)=1 при x=0. Такая функция есть в системе Mathcad 11/12, но ее нет в предшествующих верси ях системы Mathcad. Однако, как показано на рис. 15.97 (часть документа снизу), такую функцию несложно задать с помощью функции if. Заодно на рис. 15.97 снизу показано восстановление сигнала по его отсчетам на основе теоремы Ко тельникова. Примечательно, что функция sinc(x)=sin(x)/x имеет максимум при x=0 и колебательно спадает в обе стороны, что чем то напоминает поведение не которых вейвлетов (см. следующую главу). Рисунок 15.97 показывает, что даже при небольшом числе отсчетов (в нашем случае их 11) восстановление сигнала (или, можно сказать, его интерполяция) про исходит вполне прилично, хотя и неидеально. Интерполирующая кривая получает ся довольно плавной и непрерывной и точно проходит через точки исходных отсче тов. Увы, злополучный эффект Гиббса (колебания интерполирующей кривой, не присущие исходному сигналу) и здесь имеет место. Его причиной, как всегда, явля ется ограниченное число выборок. При увеличении числа выборок точность восста новления можно существенно улучшить, что часто и делается на практике. 15.9. Оконное преобразование Фурье 15.9.1. Ограничения и недостатки преобразования Фурье С позиций точного представления преобразованием Фурье произвольных сигна лов и функций можно отметить целый ряд его недостатков: • неприменимость к анализу нестационарных сигналов; • преобразование Фурье даже для одной заданной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, что является теоретической абстракцией;