* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Основные определения линейной алгебры 613 Здесь a1,1, a1,2, ..., an,n – коэффициенты, образующие матрицу A и могущие иметь действительные или комплексные значения, x1, x2, ..., xn – неизвестные, образую щие вектор X, и b1, b2, ..., bn – свободные члены (действительные или комплекс ные), образующие вектор B. Эта система может быть представлена в матричном виде как AX = B, где A – матрица коэффициентов уравнений, X – искомый вектор неизвестных и B – вектор свободных членов. Из такого представления системы линейных уравнений вытекают различные способы ее решения: например, X = B/A (с применением матричного деления) или X = A–1B (с инвертированием матрицы A) и т. д. 8.1.3. Матричные разложения В ходе решения задач линейной алгебры часто приходится использовать матрич ные разложения, нередко резко упрощающие решения систем линейных уравне ний. Отметим некоторые из наиболее распространенных матричных разложений, которые реализованы в большинстве СКА и СКМ. LU разложение, называемое также треугольным разложением, соответствует матричному выражению вида P · A = L · U, где L – нижняя и U – верхняя треуголь ные матрицы. Все матрицы в этом выражении квадратные. QR разложение имеет вид A = Q · R, где Q – ортогональная матрица, а R – верхняя треугольная матрица. Это разложение часто используется при решении любых систем линейных уравнений, в том числе переопределенных и недоопреде ленных и с прямоугольной матрицей. Разложение Холецкого A = L · LT применяется к симметричной матрице A, при этом L – треугольная матрица. Сингулярное разложение матрицы A размера M?N (M?N) определяется выра жением A = U · s · VT, где U и V – ортогональные матрицы размера N?N и M?M соответственно, а s – диагональная матрица с сингулярными числами матрицы A на диагонали. 8.1.4. Элементы векторов и матриц в Maple Элементы векторов и матриц в Maple являются индексированными переменны ми, то есть место каждого элемента вектора определяется его индексом, а у мат рицы – двумя индексами. Обычно их обобщенно обозначают как i (номер стро ки матрицы или порядковый номер элемента вектора) и j (номер столбца матрицы). Допустимы операции вызова нужного элемента и присваивания ему нового значения: • V[i] – вызов i го элемента вектора V; • M[i,j] – вызов элемента матрицы M, расположенного на i й строке в j м столбце; • V[i]:=x – присваивание нового значения x i му элементу вектора V; • M[i,j]:=x – присваивание нового значения x элементу матрицы M.