* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
Выбор аппроксимации для сложной функции
491
бы 6 точных цифр результата в интервале [0..4] и требовала, по возможности, наи меньшего числа арифметических операций для каждого вычисления. Втайне невредно помечтать о том, чтобы после аппроксимации время вычислений умень шилось бы хотя бы в несколько раз. Что получится на деле, вы увидите чуть поз же. А пока войдем в дебри практической аппроксимации.
6.4.2. Аппроксимация рядом Тейлора
Начнем с аппроксимации функции хорошо известным рядом Тейлора степени 8 относительно середины интервала (точки с x = 2):
> s := map(evalf, taylor(f(x), x=2, 9));
s := 0.4065945998 – 0.1655945998(x – 2) + 0.00209790791(x – 2)2 + 0.01762626393(x – 2)3 – 0.006207547150(x – 2)4 + 0.00001414211(x – 2)8 + O((x – 2)9)
> TaylorApprox := convert(s, polynom):
Такой ряд позволяет использовать для вычислений только арифметические действия. Для удобства преобразуем аппроксимацию в функцию, чтобы она соот ветствовала форме, указанной для первоначальной функции f(x). Тогда мы смо жем построить график кривой ошибок для аппроксимации полиномом Тейлора:
> TaylorApprox := unapply(TaylorApprox, x);
TaylorApprox := x > 0.7197837994 – 0.1565945998x + 0.00209790791(x – 2)2 + 0.01762626393(x – 2)3 – 0.006207547150(x – 2)4 + 0.000573358662(x – 2)5 + 0.00024331162(x – 2)6 – 0.00010010534(x – 2)7 + 0.00001414211(x – 2)8) Кривая ошибок для аппроксимации полиномом Тейлора строится командой
> plot(f – TaylorApprox, 0..4,color=black);
и имеет вид, представленный на рис. 6.21. Эта кривая нас, прямо скажем, не слиш ком радует, поскольку погрешность в сотни раз превышает заданную. Типичное свойство аппроксимации рядом Тейлора состоит в том, что ошибка мала вблизи точки разложения и велика вдали от нее. В данном случае самая большая ошибка имеет место в левой оконечной точке. Чтобы вычислить значе ние ошибки в точке x = 0, что ведет к делению на нуль (см. определение для f(x)), мы должны использовать значение предела:
Рис. 6.21. Кривая погрешности при аппроксимации рядом Тейлора
