* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Основы теории аппроксимации 467 Преобразование базисного множества точек в алгоритме Валле Пуссена осу ществляется следующим образом: • на отрезке [a,b] определяется точка , в которой остаток Rn(x) = f(x) – Pn(x) имеет максимальное значение, то есть • возможны три случая расположения точки на отрезке [a,b]: Если < x0(k) и если Rn( )Rn(x0(k)) > 0, то есть остатки Rn( ) и Rn(x0(k)) имеют один и тот же знак, то на (k+1) ой итерации принимается x0(k+1) = , а все осталь ные точки не изменяются; если же они имеют различные знаки, то осуществляет ся преобразование всех точек по формулам Если x0(k) < < xn+1(k), то существует отрезок [xp 1(k),xp(k)], которому принадлежит точка . Тогда если Rn( )Rn(xp 1)(k) > 0, то xp 1(k+1) = . В противном случае xp(k+1) = x. Все остальные точки базиса остаются без изменений. Если > xn+1(k), то осуществляется замена последней точки xn+1(k+1) = при Rn( )Rn(xn+1(k)) > 0. При невыполнении этого условия осуществляется преобразо вание всех точек базиса по формулам xi(k+1) = xi+1(k), при i = 0,1,…,n и xn+1(k+1) = . Последовательность приближений, получаемых с помощью этого алгоритма, сходится к точкам чебышевского альтернанса независимо от выбора начального базиса. В отличие от алгоритма Валле Пуссена, в алгоритме Ремеза на каждой итера ции осуществляется замена всех точек текущего базиса, в результате чего возрас тает скорость сходимости к точкам чебышевского альтернанса. Пусть аппроксимируемая функция y = f(x) определена во всех точках [a,b], или заданы ее значения только в N дискретных точках, принадлежащих [a,b]. Ал горитм Ремеза замены базиса можно сформулировать следующим образом: • пусть x0(0) < x1(0) < … < xn(0) < xn+1(0) – начальный базис на [a,b], ?0 – макси мальное значение остатка Rn(0)(x); • пусть в результате выполнения итерационной процедуры найдено k ое при ближение базиса x0(0) < x1(0) < … < xn(0) < xn+1(0), а также соответствующее зна чение ?k. Преобразование базиса в алгоритме Ремеза на (k+1) ой итерации состоит из (n+1) шагов. Первый шаг: на отрезке [a,x1(k)] определяются две точки v0 < v1, в одной из кото рых Rn(k)(x) имеет наименьшее значение, а в другой – наибольшее. В этом случае нулевая и первая точки (k+1) го приближения принимаются равными x0(k+1) = v0, x1(k+1) = v1. Второй шаг: на отрезке [x1(k+1),x2(k)] определяются две точки v1 0, то вторая точка (k+1) го приближения