* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Основы теории аппроксимации 453 6.1.7. Интерполяция по методу Чебышева При равномерном расположении узлов интерполяции погрешность ее распреде лена в заданном интервале изменения x крайне неравномерно. Чаще всего наблю дается выбег погрешности на краях интервала интерполяции. Поэтому важен иной выбор узлов интерполяции, дающий уменьшение ее погрешности. Метод интерполяции Чебышева был создан для оптимального выбора узлов ин терполяции, если это возможно при решении конкретной задачи, и для получения минимально возможной погрешности аппроксимации. Для рассмотрения оценки по грешности интерполяции на рассматриваемом отрезке имеется соотношение (6.8). Предполагается, что в выборе расположения узлов интерполяции ограниче ний нет и что узлы выбираются произвольно. Ставится задача о наилучшем выбо ре узлов. Наилучшими узлами xi следует признать те, для которых выражение max[a,b]|?n(x)| минимально для рассматриваемого класса функций (алгебраиче ских полиномов). Определение этих узлов сводится к нахождению корней поли нома, наименее уклоняющихся от нуля на [a,b]. Такой полином порождается по линомом Чебышева первого рода Tn+1, общий вид которого: Предварительно рассматривается полином на отрезке [–1,1], который называется полиномом, наименее уклоняющимся от нуля. Это определение подтверждается следующим доказательством. Если Pn+1(x) – полином степени n+1 со старшим коэффициентом 1, то Для доказательства этого предполагают, что неравенство не выполняется. Тог да полином имеющий степень n, во всех (n+2) экстремальных точках xm полинома Tn+1 совпа дал бы с ним по знаку и, следовательно, поочередно принимал бы в этих точках то положительное, то отрицательное значение. Поэтому полином должен иметь (n+1) различных корней, что невозможно для полинома степени не выше n. Все рассуждения проводились для отрезка [–1,1], который линейной заменой переменных можно перевести в заданный отрезок [a,b]. Полином в со старшим коэффициентом . Следовательно, преобразуется