* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
Основы теории аппроксимации
449
(6.9) (6.10) В силу условия (6.10) и требования, чтобы полином li(x) был степени n, полу чаем: (6.11) Используя требование (6.9), найдем значение постоянной ci с помощью выра жения или (6.12) Подставляя (6.12) в (6.11), можно записать выражение для li(x) в явном виде:
Затем найдем алгебраическую сумму произведения f и li(x):
Данное выражение является полиномом степени не выше n, в точках xi прини мает значение fi, так как соответствующее слагаемое суммы fili(xi) равно fi, а ос тальные слагаемые fjlj(xi) обращаются в нуль. Интерполяционный полиномом Лагранжа обычно записывается в следующем конечном виде: (6.13) Важным достоинством этой формы записи интерполяционного полинома яв ляется то, что число арифметических операций, необходимых для построения по линома Лагранжа, пропорционально n2 и является наименьшим для всех форм записи. Это минимизирует затраты времени на вычисления. (6.13) применимо как для равноотстоящих, так и для неравномерно отстоящих узлов. Достоинством является и то, что интерполяционный полином Лагранжа удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях. Выражение (6.13) можно записать в более компактной форме. Для этого нуж но ввести вспомогательную функцию Отметим, что эта функция является полиномом степени n. Ее производная в точке xi имеет следующий вид:
