* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Основы теории аппроксимации 447 Рис. 6.1. Графическая иллюстрация интерполяции функции где k – постоянная, значение которой выбрано таким образом, чтобы функция q(x) была равной нулю при x = x*, то есть Тогда имеем следующее: (6.5) При таком выборе k функция q на отрезке [a,b] в точках x0, x1,…, xn, x* будет равна нулю (n+2) раз. Тогда если использовать теорему Ролля [60], то можно утверждать, что производная q? на интервале a,b равна нулю, по крайней мере (n+1) раз. Производная q?? равна нулю n раз и т. д. до производной q(n+1), которая обратится в нуль, по крайней мере в одной точке, принадлежащей отрезку интер полирования [a,b]. Обозначим эту точку через ? ?[a,b]. Продифференцируем правую и левую части соотношения (6.4) (n+1) раз по x, учитывая при этом, что x = ?, получаем в левой части нуль, так как q(n+1)(?) = 0. Первое слагаемое правой части дает значение производной в точке ?, равное f(n+1)(?). Второе слагаемое правой части равно нулю как производная (n+1) го по рядка от полинома степени не выше n. Третье слагаемое дает произведение посто янной k на полином (n+1) й степени со старшим коэффициентом 1. Производная (n+1) го порядка от этого полинома будет равна (n+1)! Таким образом, получаем следующее выражение: 0 = f(n+1)(?) – k(n + 1)! (6.6)