* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
§ 152 Квадратичные вычеты можно получить, какъ вычеты чиселъ 1», 2*, 3*, , (^g- -) 1 2
Числа, которыя въ этомъ ряду не фигурирують, суть невычеты. Для сокращения ръчи мы будемъ теперь разсматривати всъ числа, имъиощия одинъ и тотъ же вычетъ ию модулю р , какъ одинъ индивидуумъ. одинь числовой классъ. Сообразно этому, мы будемъ вообще разуметь подъ квадратичными виячетами все числа я, при которыхъ сравнение я = (I (mod. р) имеетъ ръииени'я. Въ настоящемъ параграфе для сокращения речи мы будемъ гакже говорить просто в ы ч е т ы вместо к в а д р а т и ч н ы е вы четы. Мы получимъ следующий предложения.
2
2. П р о и з в е д е н и е д в у х ъ в ы ч е т о в ъ е с т ь в ы ч е т ъ . Въ самомъ д е л е , если я то (xx )
f 2 2
= а,
я ' = a' = аа'
2
(mod
р),
(mod. р ) ,
такимъ образомъ, аа' также есть вычетъ. 3. П р о и з в е д е т е в ы ч е т а на н е в ы ч е т ъ е с т ь н е в ы ч е т ъ Въ самомъ деле, если а и ай' суть вычеты, то существуетъ такихъ числа v и у, которыя удовлетворяютъ сравнешнмъ. я
2
два
= а,
у
2
= an'
(mod. р);
съ другой стороны, согласно § 71, 1, существуетъ такое число к'- что хх' = 1. Въ такомъ случае: у
2
ЕЕ х а',
2
(ух ) =
2
а\
a потому а' также представляетъ собою вилчстъ. Отсюда вытекаетъ, что произведение ab есть невычетъ, если а есть вычетъ, а Ъ невычетъ. Въ самомъ д е л е , если бы ab было вьичетомъ, то и 1? какъ мы толижо что нюказали. было бы вычетомъ.
т
4. П р о и з в е д е т е д в у х ъ н е в ь и ч е т о в ъ е с т ь в ы ч е т ъ . Въ самомъ д е л е , если b есть какое-либо число» которое не делится на р , то произведете bp пробегаетъ полную систему вычетовъ по мо дулю р когда множитель р пробвгаетъ полную систему вычетовъ. Эта полная система вычетовъ состоитъ изъ квадратичныхъ вычетовъ а и квад ратичных!- нсвычетовъ (3. Если b есть невычетъ, то произведение fca, согласно предыдущей теореме, проходить черезъ все невычеты. Следо вательно, произведение Ь$ должно пройти черезъ вс1> вычеты.
>
