* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

576 § 145 ложе Hie доказано Эйлеромъ. для пятой—Дирихле. Дальше илетъ доказа­ тельство Куммера, которое уже охватываетъ обширную катеи'Ори'ю пока­ зателей ; однако Куммеръ пользуется наиболее глубокими и трудными средствами анализа, которыми Ферматъ но всякомъ случат» еще не влад1.лъ. Иначе обстоитъ дтзло съ другой теоремой, которую Ферматъ считалъ правильной, именно, что увеличенная единицей степень числа 2, по­ казателемь которой также служить степень числа 2. есть простое число. Но здесь Ферматъ самъ заянляетъ, что ему еще не удалось дать исчерпы­ вающее доказательство этого предложения. Если бы это предложение было прави1лышмъ, то оно давало бы возможность находипъ сколь угодно болн>ппя нростыя чиисла, для чего мы иишхъ средствъ въ настоящее время ие имеемъ. Однако, какъ показал ь Эйлер ь, предложеше это неправильно: уже 2 *-f~ 1 - 4 294 967 297 разлагается на множителей, именно делится на 641 3 111. § 145. Иеюричеекия свъдишя объ иррац'юнальныхъ числахъ. Это лонолт1С111с внесено авторомъ после § 20. Теория иирранлоналынлхъ чиселъ также начинается съ Евклида. Пятая книна „ Началъ" посниш.ена отношениями Оиредтлеииия 3 нельзя признатн> определении'емъ слова „отношение" • н о определеииие 4 устаииаилишаетъ, въ какомъ случае двь величиииы имЬють отноиниеш'е, именно, если! меиплиая изъ ишхъ, будучи повторена достаточное число разъ, превзойдетъ большую *). Далее опредтлеш'е 5 н 7 строго устаиавливаютъ, въ какомъ слу­ чае два отношений равны H въ какомъ случае одно отношений больше I друи'ои'О ( § 27,2) Онред1леиийе 3 заменяетъ то, что мы въ настоящее ифемя пазываемъ аксиомой непрерилвииости: последняя нъ книне X, 1 на­ ходили- следующее выражение* если мы оть некоторой величиииы отнимемъ болыне июлонишы, отъ остатка вииовь отнимемъ бол]>ше половиниы еио и т. д., то мы такимь образомъ всегда придемъ к'ь величине, меньшей, нежели! любая заданная величина {вместо „больше половины" можно бы­ ло бы брать любую дробь). Что существую гь соизмеримый H нееоизмеримгля величиииы, г. е. въ I пашей терминологией ращональныя и ирранцоналнлинлн отношения, это, повидимому. ясно поннмалъ уже Пиюаиоръ. Евклидъ вь X книне (9) показы­ ваетъ, что стороииы двухъ квадратовь, нтлонцади которыхъ не относятся *) Это положеипе совиадаетъ сь V июстулатом ь въ сочинении Архимеда „О цилиндре и к о н у с е - (издаше Гсйберга. Т. I сгр. I I ) ; поэтому оно известию подъ назваш'емъ „ А к с и о м ы А р х и м е д а " (См. О S t o l z . „Vorlosungen iiber allge meine Aritlimetik I. Mathematische Annalen XXXIX H i l b e r t . Grundlagon der Geo­ metric* Исторически было бы правильнее называть это предложеше Евклидовымь; но э ю могло бы привести къ смешению с ь другими акечомами Евклида. r