* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

543 § 137 называется также п р о и з в о л п о ю ф у н к н д е й или просто п р о и з в о д н о ю оть v и обозначается черезь у'. Если у = fix) есть данная функши, то v' = /'(-v) (3) есть производная функция Производная есть предаль, который непосредственно представляется вь виде У'~ dv АV / - - L i m \ есть (4) а лифференшал ь, при произвольно взятом ь dx, dv — у' dx. (5) Мы объединяемъ все эти разеужлешя вт, одномъ предложение П р о и з в о д н а я о т ъ ф у н к ц ш е с п , т р и г о н о м е т р и ч е с к и й таи­ г е н с ъ у г л а , к о т о р ы й к а с а т е л ь н а я къ к р и в о й , изображающей ф у н к ц п о у, о б р а з у е т ъ с ь п о л о ж и т е л ь н о ю о с ь ю х ). 3 2. Два угла, отличакишеся на величину т: одинь оть другого, имътотъ одинт, и тогь же тригонометрически! таигенсъ. Онь есть положительная величина для осграго утла Вь равенствах'!- (1) и (2) углы 0 и th должны быть измеряемы сообразно сь п о в о р о т о м ! , , при помощи котораго оси д -вт> можно дать направление сЬкущей или касательной, такь что углы О и & должны быть взяТы отрицательными, когда иращеше направлено отт положительной оси А"-вь къ отрицательной оси у-ни. Если вь равенстве (1) Л v и А у имеютъ положительныя знаки, то неремЬнныя у и х в о з р а с т а л и при переходе отъ точки Р къ точке О; когда dx есть величина положительная, a d\—отрицательная, то функщя у убывала, когда переменная х в о з р а с т а л а . Нош, следовательно, производ­ ная у' отлична отъ нуля, то для достаточно малаго положительиаго значешя Ад* знакъ величины А \ будетъ совпадать со знакомь производной у', и мы заключаем!,: К о г д а вт, т о ч к е Р п р о и з в о д н а я у' е с т ь в е л и ч и н а п о л о ж и ­ т е л ь н а я , т о у в о з р а с т а е т ! , в м е с т е с ъ л . а е с л и у' е с т ь в е л и ч и н а о т р и ц а т е л ь н а я , т о у у б ы в а е т ъ съ в о з р а с т а н и е м ь х. ) Это определеше производной основано на поняли "о касательной, какъ о п р е д е л ь н о м ъ н о л о ж е н м ! с е к у щ е й , которое въ свою очередь нпчемъ не опре­ делено Ксли же определить производную отъ функши въ цанной точке (т. е при Av данномъ значении х), какъ пределъ отношеш'н ^ х 3 то можно будетъ затемъ опре­ делит!, касательную, какъ прямую, проходящую черезъ данную точку кривой тт. е че­ резъ точку кривой, и м е ю щ у ю данный координаты) и образующую съ положительным ь илправлешемъ оси v-въ уголъ, таигенсъ котораго равенъ производной въ этой точкъ Av Нь случае отсутствии производной, т. е предела отношешя д ^, нетъ и касательной въ разематриваемой точке кривой.