* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
474
§ П9
П о э т о м у , к р о м е т о г о с л у ч а я , к о г д а \). е с т ь ц ъ л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о , р я д ъ (1) и м е е т ъ к р у г ъ с х о д и м о с т и , рад]"усь ко т о р а г о р а в е н ъ 1 (§ 115, 10,. 3. Въ § 55, (10) мы познакомились съ иыражешемъ для бииолп'альиыхъ коэффишентовъ. которое мы теперь, при несколько измьненныхъ обозначешяхъ, представимъ такъ:
=
щчщ) _|_ дс,., yjw _|_
4
И
т _|_
а
_[_
Щр
( 3 )
Тамъ мы вывели, однако, это равенство только въ томь предполо жение, что ;л, v-суть ц1>лыя числа. Но при помощи выражении (2) мы можемъ доказать, что оно остается вь силе и въ общемъ случав. Д е й ствительно, согласно формуламъ (2),
равенство (3) справедливо при // = 0 и // — 1. Допустивъ. что это равенство верно для некотораго мы локажемъ, что оно также верно для п-\-1. Для этой цели мы воспользуемся раненстномъ
которое выводится непосредственно изь равенствъ (2). Помпожимъ о б е части равенства (3) на р. -\~ > — н и нь отдельных ь членахъ правой части разложимъ этотъ множитель следующимъ образомъ:
у
f*4-v — п -=(v — •=(v
= ( v
+ 1) + ((л — 1 ) , 2) + ( a 2),
- « + _
n
+
Мы получимь такимь образомъ
(;,. _|_ v — и) «{,"> (v — п) И? +fl?*>(v - н + 1) Я " , +
+ рЩ">щ?+
= (v — п + 2) Д М , +.
^ _ 1 )
й
4
о о / ^
1
+
или, па основанш равенства (4),
(«+о
==
< « + > ^о
!
, }
«а»+"
/?
-"+ ~
(,/
п
^ •+
ару гомъ, то
Если мы сложимъ здесь члены, стояние другъ подь множитель (//-|-1) сократится, и мы получимъ
