* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
461
§ Пб
я
n
ихъ абсолютными значешями ciubi* то А перейдетъ въ D . Согласно теореме, по которой абсолютное значеше суммы не больше суммы абсонотныхь значеш'й ея слагаемыхъ, находимъ, что
поэтому | Л | а, следовательно, также и Д„ имеегь предтломъ нуль. Отсюда же вытекаетъ, что
п
И
=11
Такимъ образомъ и рядъ / / ' сходится Но
| к„ ^ a bn +
0
a hn~\ +
A
+
ab
H
0
=
сп
а такъ какъ рядь С сходится, то и рядъ чиселъ | Wi | сходится, то есть рядъ W сходится абсолютно. Мы имеемъ такимъ образомъ теорему: Если и з ъ д в у х ъ а б с о л ю т н о с х о д я щ и х с я р я д о в ъ с и / ' мы с о с т а в и м ъ по ф о р м у л а м ъ (9) р я д ъ / / , т о и э т о т ъ п о с л е д н е й б у детъ абсолютно сходиться и притомъ // = W
Л
6. Абелева теорема (§ 113) даетъ возможность распространить только что доказанную теорему такимъ образом ь, что уже не будетъ больше на добности делать различ1е между абсолю тною и неабсолютною сходимостьюКсли ( ' и / ' с у т ь д в а с х о д я щ и х с я р я д а и если с о с т а в л е н н ы й и з ъ н и х ъ п о ф о р м у л а м ъ (9) р я д ъ / / ' т а к ж е с х о д и т с я , т о IF —I'}. Въ самомъ деле, если у означаетъ положительную правильную дробь и ряды I и Г сходятся, то ряды ( (г) =- //» + / //, + г / / + г н
2 т 2 3 8
+
+
/" ( Г ) =
Го +
ГГ, +
Г*1'< +
г
r*v?
сходятся абсолютно (§ 115); выводимый изъ нихъ по формуламъ (9) рядъ / Г О ) — л ' + ru\ -\- i*u\ + г -й'
0 3 3
+
по п. 5 сходится абсолютно, причемъ U{f)l (г) = / Г (г) (Ю)
Если положить у = \ , то ряды //О'), / / / ' ( г ) переходятъ въ //, / , // и. когда эти последше сходятся, то по абелевой теореме Lim / / ( / ) = U, Lim ГQ) = I Lim / / ' ( г ) =- П\
