* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

456 § П5 Вообще же степенной рядь сходится для н1»которыхъ значешй ~ и расходится для другихъ значешй. Относительно таких ь рядонь справедливы слт>дующ1я теоремы. 3. Е с л и у е с т ь а б с о л ю т н о е з н а ч е м е ч и с л а с и г е с т ь т а к о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о , ч т о п р и н е о г р а н и ч е н н о в о з р а с т а ю щ е м ь // ч и с л о yii f\ не в о з р а с т а е т ъ б е з п р е д - Ь л ь н о , т о рядъЛ'СО с х о д и т с я а б ­ с о л ю т н о для в с я к а г о ^, а б с о л ю т н о е з н а ч е т е к о т о р а г о г м е н ь ш е г . Действительно, когда г ' }\ есть правильная дробь, то рядъ л п х х сходиIся, а вместе съ нимъ сходится (по § 1 1 4 , 3 , 4 . ) и рядь Т» + ™ ; +T.r,"(^) 4-Y^(f)V l 7 , члены котораго суть абсолютный значешя членовь ряда S(^). Такимъ об разом ь и рядь S (%) сходится абсолютно. 4. Если y r остается конечнымъ для всЬхъ значешй г ) , то рядь S{%) ^ Р всЬхъ значешй ^; обратное тоже, конечно, справедливо. Если •у г остается конечнымъ для некотораго значешя г, то то-же имеегь место и для всехъ меньшихь значешй г. Если поэтому у г^ оста­ ется конечнымь не для всехъ, а хотя-бы только для некоторыхъ значений г. то эти значеш'я г имеютъ в е р х н ю ю г р а н и ц у р , и рядь Л Ц) сходится для всехъ ^. коихъ абсолютный значешя меньше р. Кругъ, описанный р а д 1 у с о м ъ р изъ начала координатъ. какъ изъ центра, называется к р у г о м ь с х о д и м о с т и степенного ряда S(0> имеемъ теорему: w с х 0 и г с я П И я и 1 п и м ы n 1 5. Р я д ь S(^) с х о д и т с я а б с о л ю т н о круга сходимости. во в с я к о й точке внутри 6. Н а о б о р о т ъ , р я д ъ S(^) не м о ж е т ь с х о д и т ь с я ни в ъ к а к о й точке вне круга сходимости Ибо, если рядъ iS'Cj) сходится, то Lim 0. Поэтому произве­ д е т е у„г" должно оставаться конечнымъ и г должно было бы быть меньше или вь край немъ случае равно р, О сходимости ряда вь точкахъ, расположенных!) на периферш круга сходимости, нельзя установить никакого общаго предложешя. Здесь, смотря по природе ряда, можеть иметь место сходимость или расходимость; можеть также случиться, что въ одной части периферш рядъ сходится а въ другой—расходится. М При пеограничснномъ возрастай™ п.