* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

455 § П4 если ршгь // сходится абсолютно, то правая часть этого неравенства становится меньше всякаго напередъ заданнаго числа. То же справедливо и относительно левой части, следовательно, теорема п. 4 доказана. § 115* Степенные ряды. Кругъ сходимости. 1 Мы будемь теперь разсматривать степенные ряды, вь которыхъ какъ аргументь такь и коэффищенты <, могутъ быть комплексными числами. Присоединив!, еще членъ c не зависящей оть аргумента, обоз­ начимъ такой рядъ черезъ fU S t ) = г„ + г, I1оложимъ ^ — х -\~ ~и _ г 4- г , ? 4- г -»43 (П 1 OS v — г (cos # 4~ г sin Л ) , п !h / sin // .V) я (c и cianeM ь изображать, согласно § 47, значешя точками плоскости, Тогда г ecib абсолютное значеше J величины ~, и точки, изображающей все т е значешя ~, которыя имЬюгь одинаковый абсолютный значешя / . лежать на круге (г), центр'ь котораго находится въ начале координатъ. 2. Сушествуютъ степенные ряды, сходяииеся при всяком ь значешй аргумента Таковъ, например ь, рядъ 7 ~2 л "3 ,4 14-—-+ ~ потому что нъ ряду Г - 42! ~ У 4- — 3! г 3 4' 1! ~ ' 4! / 4 1 144f — 44^ 1! ^ 2! 3! ' 4! ^ составленномъ изъ абсолютных!, значеш'й членов!, предыдущего ряда, от­ ношение {П-\-\)-УО члена къ //-ому Г yll уП- 1 J //! ( / / — 1 ) ! 7/ и имееть пределомъ нуль, каково бы ни было значеше г Отсюда вы­ текаетъ сходимость ряда, согласно § 109, 4. Сущестнуютъ, наоборотъ, и такте ряды, которые не сходятся ни при какомъ значешй ? (кроме % — 0). Таковт,, напримеръ, рядъ 1 4 l ! ; - f 2l: + 3 ! ^ - f 4!-4. s Въ самомъ де.пе, если с есть число, которое болыне г, то по § 48, 2, возможно взять число п столь большим ь, чтобы выполнялось неравенство n\ f ^> с \ такимъ образомь уже отдельные члены этого ряда неограни­ ченно возрастаю гь вместе сь //, и рядъ не можеть быть сходящимся l п