* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

450 § 112 положительныхъ членонъ а а, . , затемъ н+жоторе число отрицательпыхъ членовъ — , — /л , , потомъ опять некоторые положительные члены а затьмъ вновь некоторые отрицательные члены причемъ будем ь иметь въ виду, чтобы члены а, равно какъ и члены — /\ вводи­ лись вь ихъ последовательности безъ пропускоиъ и повторешй. Л е г к о т е п е р ь п о к а з а т ь , что в о з м о ж н о у с т а н о в и т ь такой п о р я д о к ъ и в е д е ш я ч л е н о в ь . при к о т о р о м ь р я д ъ С б у д е т ъ и м е т ь л ю б о е н а п е р е д ъ з а д а н н о е з н а ч е ш е .v. Это вытекаетъ изъ весьма простыхъ соображений. Если будемъ считать число х положительным^ то вь виду того, что рядъ А становится безконечнымъ, можно пойти такъ далеко въ суммироваши членовь <7-что сумма станетъ больше числа х и иритомъ нзбытокъ ея надъ х будетъ меньше, ч Ьмъ последшй изь введенныхъ членовь а. Возьмемъ затЬмъ столько членовь — чтобы сумма стала меньше числа х и чтобы она отличалась оть х меньше, чемъ на последшй прибавленный членъ — Станемъ потомъ опять прибавлять члены а до техъ поръ пока вновь не перейдемъ черезъ _v, и будемь продолжать этотъ процеесъ сколь угодно далеко- Разность между суммой п числомъ ;v, будучи постоянно меньше, чемъ последшй прибавленный членъ а или — можетъ поэтому, въ виду раненствъ (8), опуститься ниже всякой границы. Составленная по такому способу сумма приближается к ь числу \ - как ь къ пределу, и теорема такимъ образомъ доказана Х1 2 2 г § 113. Абелева теорема о непрерывности степенного ряда. 1 Вь § 109 мы уже разематривали ряды вида S (х) = ax t + + й з ' л 3 + , 17 2 О) 3 которые были нами названы с т е п е н н ы м и рядами; числа а а , rf , называются к о э ф ф и ц и е н т а м и р я д а : л — а р г у м е н т о м ъ . Мы нидклщ что этотъ рядъ сходится, когда коэффищенты a а Я , суть положитель­ пыя числа, которыя лежать ниже некоторой конечной границы, а х <С 1; согласно § 111,6. сходимость ряда сохраняется, если некоторые изь коэффищентовь и , а , <7 , . суть отрицательныя числа, лишь бы только они по абсолютной величине оставались меньше некотораго конечнаго предела. Мы допустимъ теперь, что рядъ коэффищентовъ it 29 3 } 2 3 А -= а, + а + h 2 { + сходится и имеетъ значеше А Такъ какь это возможно въ томъ только случае, когда числа а приближаются къ пределу нуль, то это допущеше влечетъ за собой сходимость ряда ( П для л <Г 1 п 2> При этомъ доиущеши имеегь место следующая теорема: