* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
350 Если п' больше, чемъ п ~\- 1, то въ этомь выражении Л \ - Л ' ; еспи же fi'==n-\-l то Ni ~ N-\-aN'\ поэтому А , в о в с я к о м ъ слу чае представляетъ собой п о л о ж и т е л ь н о е число. Какъ изменяются знаки въ каждой изъ строкъ (3), указать нельзя. По во всякомъ случае при переходе отъ д " И къ — N x + знакъ ме няется о д и н ъ или НЕСКОЛЬКО р а з ъ и при томъ непременно н е ч е т н о е число р а з ъ )Г
f
г _
n
l
1
4
То же самое относится также къ переходу отъ — Л^А'""* къ -\-1\х*'+ и г. д. и, наконецъ. къ переходу о т ь -t SiA'""H къ и - / , . Такимъ образомъ, ч и с л о п е р е м е н ъ ц\ в ъ п о л и н о м е Л ' , п р е в ы ш а е т ъ ч и с л о п е р е м е н ъ w в ъ п о л и н о м е Л п о к р а й н е й м е р е на е д и н и ц у и во в с я к о м ъ с л у ч а е на н е ч е т н о е ч и с л о ) ; следовательно,
1 1 5
«', = «' + 1
где g есть ч е т н о е не о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о (т. е. g^O). 7. Если функщя Л не имеетъ положительных» корней, то въ ряду ея коэффишентовъ либо вовсе нетъ перемЬнъ, либо таковыхъ имеется ч е т н о е ч и с л о . Въ самомъ д е л е , при нечетпомъ числе переменъ послед ит" членъ I 7 имъетъ отрицательное значение, а потому функщя при д - = 0 имеетъ отрицательное значеше; между гемъ, при достаточно большихъ значениях!» х, функиия имеетъ значения того же знака, что и x + , т. е положительное Сле/кшагелыю, при такихъ условиях!» функиия имела бы но крайней мере одинъ положительный корень. 8. Выдълимъ теперь все положительные корни функиии / ( д ) ; пусти» это будет!» а, [}, у Тогда
w l 1
/(A-)-V(.V
а) ( л — р)(.г — 7 )
где х есть целая функция, имеющая только отрицательные или мнимые корни; если функция f{x) имеетъ исключительно положительные корни, то А сводится къ 1 Согласно тому, что было изложено въ п. 6-омъ, введение каждаго изъ множителей х — а, х — [4, х—у . прибавляетъ къ числу переменъ, имеющихся нъ функции А , еще одну или во всякомъ случае нечетное число их!». Принимая же во внимание, что въ полиноме Л , какъ показано въ пункте 7, имеется четное число инеременъ, мы приходим ь къ следую щему выводу: Ч и с л о п о л о ж и т е л ь н ы х ъ к о р н е й ц е л о й функиии J(x) либо *) Ибо после четнаго числа перемень мы возвратились бы къ тому же зна ку -f-, а не къ обратному. ) Нужно принять во внимание, что число строкъ (3) на 1 больше числа строкъ (2).
5
