* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

348 При этомъ нужно имт^ть въ виду, что те значешя v, при которыхъ / ' ( л ) обращается нъ нуль, не м е н я я с в о е г о з н а к а , нужно считать два или вообще четное число р а з ъ ) 4. Прежде всего, однако, возникаете вопроси., сколько вообще кор­ ней ) имьеть данное ypaBiienie и. въ частности, сколько оно им herb по ложительныхь и отрицагельныхъ корней. Прежде чЬмъ этотъ вопрос ь былъ окончательно и вполне решенъ г е о р е м о й Ш т у р м а ; -) был'ь устано­ влено несколько предложений, не лававпиихъ, пиравда, обицаго и вполне точнаго ответа на этотъ воииросъ. но все же очень полезныхъ, благодаря своей ииростоте. Наиболее простымъ и наиболее известными- из и этихъ предложений является Д е к а р т о в о п р а в и л о зииаковъ. Вь формулировке и доказательстве этого предложения мы будемъ следовать Гауссу * * ) . 2 3 5. Пусть V будетъ полиномъ ?/г-ой степени, въ котороме коэффи­ циенте при х равенъ 1, а свободный членъ не равенъ нулю, такъ что О не принадлежитъ къ числу корней этого полипома. Если мы расположимъ полиномъ V но убыВЯющимь степенями^ перем1>ннаго т, то онъ будетъ т ицатьсн въ нуль между о и [3. если /"(ос) и f([i) имеютъ противоположные зииаки. с Но допустим ь, что между а и [i функции уничтожается только при . V ^ Y * Можемъ ли мы утверждать, что у есть корсииь нечетипой кратиюсти? Можемь ли мы утвер­ ждать, что между о и [4 есть нечетное число корней, если каждый корень считать с по степеиии его кратиюсти? 1>то изъ разеуждеийй автора не вытекаете, хотя доказилвлется очень просто. Пусть а , а , а будутъ корни фупкщ'и f(x) Тогда г % п F(x) F7 («> Fi - а ( х <г,)(х /« а) 2 (х а) «,\/«-^\ имеютъ различите зи1акицто ™ ~ есть отрищательишя дробь РЫ а иютому въ правой части иредыдуиихаго равеииства должно би>1ть ииечетиюе число отрицателыпыхъ множителей вида F(a) F($) Если и р-«; Но такая дробь имеетъ отрицательное значение только въ томъ случай, ес­ ли 1по, между о и ? заключается нечетное с с число кориией а ) Точнее говоря, если функция F{x) проходить черезъ кореииь у , не мьишя при этомъ зииака, то у есть кореиш четной кратиюсти. Эго доказывается точно такъ же. какъ предилдущее предложение въ примечаиии'и *). •) Конечно, вещественныхъ. *) J. F. К. Sturm (род. 1803 въ Жеииеве, ум. 1855 въ Париже) далъ эту теоре­ му въ работе, озаглавленной: „Мётоиге sur la resolution des equations nurneriques" 1835. Сочинение это было niaiuicanio nia соискание моемш и ииремировано Парижской Академией. "**) Указание на это предложение имеется уже у Кардана; ясно же и оиире( { 2