* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

298 ТЪмъ же путемъ можно показать, напримеръ. что 2 1 6 -f- 1 = 65 537 есть простое число, гакь какт> оно можетъ быть разложено па два квадра­ та только однимъ способомъ: 256* + 1. 3. Къ последнему результату можно придти еще другими путемъ. Число вида 2 4~ 1 наверное не представляетъ собой простого числа, если показатель п не есть степень числа 2. Нъ самом ь д е л е , пусть il — 2 vu где /// уже нечетное число. При всяком ь /// мы имеем ь (§ 58): W / 1 — д * f1— JC) (1 + .V + .V* 4- .V 43 4- .V '-'). й Если мы здесь положим ь v - — 2 " , то мы получимъ. что 1 4~ 2" от­ делится на 1 — 2~ ; это же число меньше, чЬмь 1 4~ 2". если ml — | 1. Итакъ, положимь. что // — 2 , и изследуемъ, представляеть ли со­ бой 1 4^2" простое число или составное. Чтобы найти простыя числа, которыя входятъ въ составь числа 2 —— 1, достаточно производить испьгташя посредствомъ делешя вплоть ) А й 1 п до наиболыпаго простого числа, которое меньше 2 лится на р, то 2" = —1 1 Если 2" 4" L Де­ (4) 2 * = 1 й (mod /У). Пусть j будетъ наименышй положительный показатель, при которомъ 2 = 1: если тогда 2 =} 1. то < должно делиться на / (§ 68.2). Вь нашемъ * случае, следовательно, 2п VVHKHO делиться на /, а потому / должно быть степенью числа 2. Но сравнсшн (4) обнаруживаюсь, чго / не можеп быть меньше 2п а потому / л 2 н . Съ другой стороны, по теореме Фермата, 2 '~ = I , а потому ^-1 должно делиться на 2 //. Me получаем ь такимъ образом ь следующую теорему: f !1 т } л Каждый р г л простой т > v 1 6 делитель ч и с л а 2 * —|— 1 * имеет ь видь - 2пх 4" 1 есть ц е л о е число. 4. Для числа 2 ~\~ 1 — 65 537 испыташю подлежат1> только про­ стыя числа, которыя меньше 2 256. Но между последними имеются только два, а именно 97 и 193, которыя имеютъ видъ 32л - \ - \ \ какъ 2 - | - 1 ни на одно изь этихъ двухъ чиселъ не делится, то оно представляетъ собой простое число. 5. Для числа 2 -|~ 1 нужно испытать въ качестве делителей про­ стыя числа вида 64л которыя меньше 65 536 Первыя 5 изъ этихъ В т а к ъ 1 6 з й