* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Нелинейные случайные колебании 539 Результаты исследования уравнения (53) для различных типов функции V (х, х) и различных возмущающих процессов / ( / ) приведены в работах 140, 41, ЕЙ]. В работах [44, 531 даны результаты исследова­ ний точности метода статистической линеаризации применительно к не¬ которым простым системам. Эти исследования основаны на сравнении результатов с точными выражениями, полученными при помощи теории марковских процессов. Вычисления показывают, в частности, что точ­ ность метода тем выше, чем меньше интенсивность возмущающего про­ цесса (с увеличением последней возрастает «э<[)фективиая нелинейность» системы). Идея метода статистической линеаризации (априорное нведение функ­ ции распределения, зависящей от конечного числа параметров, которые далее находят из условия минимума ошибки) нашла применение и при решении детерминистических задач 118]. Аналогичную идею исполь­ зуют по существу и при исследовании нелинейных стохастических уравнений методом моментов. Д л я того чтобы замкнуть цепочку урав­ нении для моментов, постулируют зависимость между моментами раз­ личных порядков, соответствующую выбираемому закону распределе­ ния. В рассмотренном выше примере система уравнений д л я моментов второго и четвертого порядков замыкается при помощи дополнитель­ ного соотношения х* = 3 (х )' . В результате приходим к выражению (50) 1 1 для о> . Метод малого параметра. Пусть в уравнении (53) V (х ном относительно х, х- П о л а г а я , что х Ц) = * (/) + 0 3 9 А') — поли­ (О + (')+•*• получаем линейные стохастические дифференциальные уравнения от¬ носительно Xk (0* * правые части которых входят функции xj {() (/ < k). В результате функции х^ (f) могут быть выражены в виде квадратур от возмущающего процесса / (t). После этого, можно найти моменты процесса x(t), например: х 2 = Ц -г 2\й^+ f ( + Й) + • • i* { ^ 2 Метод малого параметра применяли к системе с нелинейным демпфи­ рованием [44 ] и к нелинейной системе с двумя степенями свободы [41 1. В работе [33] этим методом решена задача о нелинейных колебаниях пластинки под действием случайных сил. Прн этом метод малого пара­ метра применяли непосредственно к нелинейным уравнениям в част­ ных производных К а р м а н а , а разложение по формам колебаний произ­ водилось на более позднем этапе вычислений. Метод малого параметра может быть применен к параметрическим задачам, в которых случайные функции нходят в коэффициенты диффе­ ренциального уравнения. Некоторые задачи устойчивости линейных систем со случайно изменяющимися параметрами исследованы при помощи этого меюда в работах J35. 33, 481- В работе 116] рассмотрена задача, приводящая к уравнению * \ $ х i U n i t 4-й?<01* - a c o s u ^ ; (58)