* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
464
Колебания
оболочек
Оценки для плотности собственных частот тонких упругих оболочек, Нз формулы (57) можно вывести следующее более грубое приближение: ka
x x
= т к + 0 (1);
х
ka
2
2
=т^а + 0 ( 1 ) .
(58)
Формулы (58) аналогичны хорошо известным асимптотическим оцен кам Р, Куранта для мембран и тонких пластин. Существенно, что для оболочек эти асимптотические оценки верны лишь в том случае, если динамический краевой эффект не вырождается. Асимптотические формулы (56) и (58) можно использовать для полу чения оценок для плотности собственных частот преимущественно изгибных колебаний. Будем определять приближенно число собствен ных частот Л' (о)^) меньших, чем заданное значение как отношение площади области на плоскости h k внутри которой частота о> меньше,
3 it z%
чем заданное значение w^, к площади одной ячейки
Подробности вычислений см, в статье [ 3 5 ] . Д л я среднего числа собственных частот, меньших заданного значения ш, имеем формулу
2
,
V(
ш
)
^ ( ? * )
а
j
[tf
_
w
*(
Y C
os 9 + s i n б ) ]
2
2
2
2
dB.
(59)
В этой формуле ю — характерная частота, 1 / Е j_ \'
2
Интегрирование в формуле (59) производится по той части квадранта Aii>0 A i > 0 , внутри которой выражение, стоящее в квадратных скобках, положительно. Дифференцируя почленно формулу (59), для плотности собственных значений п (<о) получаем формулу
# a
-
__L
(60)
Пусть По — характерная
плотность собственных
значений:
Выражение, стоящее в правой части формулы, совпадает с плот ностью собственных частот для тонкой пластины. Удобно ввести без¬ размерный параметр а = -—=-. Всегда можно занумеровать координаты
