* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

356 Параметрические колебания упругих систем Если функция Ф (t) является периодической, т, е. если 0)(( + у ) = Ф ( « ) р то Дифференциальное уравнение (25) называют уравнением Хилла. Частный случай уравнения Хилла при Ф — cos 0/ называют уравне­ нием Матье [15, 17], Области неустойчивости уравне­ ния Матье, Рассмотрим подробнее уравнение Матье ^ Г + ?i (1 — 2(i соз Ы)! = 0. (26) 2 В зависимости от соотношения между паралхтрами Q, 0 и \х его ре­ шения могут быть либо ограничен­ ными во времени (периодическими или квазппернодическнми), либо не­ ограниченно возрастающими во вре­ мени. Области в пространстве пара­ метров, при которых уравнение Матье имеет неограниченно возра­ стающее решение, называют обла­ стями неустойчивости. П а рис, 7 представлено распределение обла­ стей неустойчивости д л я уравнения Матье, записанного н виде {а — 2q cos 2x]j = 0. (27) Рис. 7 В такой записи коэффициенты уравнения зависят от параметров а и q, которые и отложены вдоль осей координат. Области неустойчивости заштрихованы. Периодические решения на г ранице областей р авпы се (х) и .se {х) (функциям Матье порядка л ) . Эту диаграмму назы­ вают диаграммой Стретта I17J. Возвращаясь к обозначениям, использованным в уравнении (26), видим, что при малых \i области неустойчивости располагаются вблизи линий, на которых 20 %=— (п= 1, 2, . . .)• (28) п п rt Область, которой в формуле (28) соответствует п = \. называют глинной, остальные — побочные. Определение границ областей неустойчивости при малых р.. С точки зрения задач о параметрических колебаниях упругих систем наиболь­ ший интерес представляет полоса на плоскости параметров, которая соответствует малым значениям параметра [А. Границы областей неустой­ чивости д л я этой полосы могут быть вычислены по формулам, вывод ко­ торых дается ь книге [ 7 ] . Д л я границ главной сбласти неустойчивости 6, ^ 2ii V~\~lt~ii. (29)