* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

536 КРИВИЗНА — КРИВОЕ ОЗЕРО. дуги. Окружности и црямыя суть един­ ственный равномерно искривленный пло­ шая л и ш и , н а н р а в л е ш е в с ъ х ъ нрочихъ к р и в ы х ъ изменяется н^равномърпо; по пъ каждой определенно» Т О Ч К Е Р какой либо кривой безконечпо малая дуга, в ъ с р е д и н е которой находится Р , можетъ быть принята з а дугу окружности. Эта окружность бу­ д е т е и м е т ь три общихъ точки с ъ даппой кривой: точку Р и д в е , по обе стороны отъ нея взятыя, без конечно блпзшя к ъ пей точки. Кругъ, образуемый этою окруж­ ностью, называется к р у г о м ъ К. илп соирикосповешя кривой, его рад.усе—радтусомъ К. и ц е н т р е — центромъ К., а обратная величина к 1 г s п t соответственно р а в н ы этого dz —, dx ' 3 2 d'z —dxtly и и перосечепие г параболоида съ радиуса ^ — К. кривой в ъ д а п ­ Отсюда слъдуетъ, что К. . пой т о ч к е Р. близкими т у г о л ъ между безконечио Определение касательными, a da — э л е м е н т е дуги крпвой в ъ т о ч к е Р. принадлежитъ Ке области дифферепциальпаго исчисления и изложено во в с ь х ъ учебп п к а х ь этого исчисления. С т а р е й ш е е изло­ жение Ньютона в ъ „Methodus lluxiooum" (1736). 2 Уравнение д л я К. будеть — — у " : 8 (1 Ч - у ' ) ' - , г д е y = f(x) есть у р а в п е ш е крнпой, а у ' я у" — первая и вторая произ­ водный отъ у по х. Появлешс второй производной в ъ выражепии д л я К. по­ нятно: т а к ъ к а к е направление кривой за­ висть о т ь изменения коордипать, то изменение наигравлешй з а в и е н т ъ отъ и з ­ менения измгшенйй координате, т. е. отъ вторыхъ дифферопцинловъ. Поэтому моя1по р а з е м а т р и в а т ь всякое уравнение ме­ жду д в у м я ( и л и тремя) переменными, в ъ которое также в х о д я т е первые и вто­ рые дифференцДалы, к а к ъ в ы р а ж е ш е , опре­ д е л я ю щ е е К. лингй ( и л и поверхностей). И з с л е д о в а ш е м е вопроса о К в ъ п о с л е д ­ нее время особенно з а н и м а л и с ь Дарбу, Ф. Клейнъ н Ли. Крнвыя двоякой К. (или пространственный) обладаготъ, к р о м е только что онисаппой п е р в о й К., еще второю. Плоскость, о п р е д е л я ю щ у ю в ъ каждой т о ч к е пространственной кривой К. этой последней, н а з ы в а ю т ъ о с к у л и р у ю щ е ю (соприкасающеюся) плоскостью. Съ цереходоыъ отъ какой либо точки простран­ ственной кривой к ъ другой, ей смежпой, оскулирующая плоскость и з м е н я е т е свое направление. У г о л ъ %' между двумя оскулирующими плоскостями в ъ точкахъ Р и Р \ весьма блызшихъ Другъ отъ друга, н а з ы ­ вается у г л о м е к р у ч е н 1 я , а его отношение к ъ Р Р , т. е. г' : ds — к р у ч е в Д е м ъ и л и же в т о р о ю К., К. п о в е р х н о с т е й . К. в ъ т о ч к е Р н а поверхности F определяется совокупностью в с е х ъ оскулирующнхъ круговъ д л я кривыхъ, н р о х о д я щ н х ъ ч е р е з ь Р и л е ж а щ и х ъ па F. Д л я облегчешя и а с л е д о в а ш й К. поверхностей вводится оскулирующий в ъ т о ч к е Р параболоидъ, уравнение к о т о р а г о : z = Va ( r x -|- 2s ху -f- t y ) , гд-Ь г. 2 2 плоскостью, параллельною касательной пло­ скости, проходящей ч е р е з ь точку О, и без­ конечпо к ъ пей близкою, о п р е д е л я е т е кри­ вую: г х + 2s ху -f- t y = 2 z = u o c T , н а з ы в а е ­ мую п н д п к а т р и с о г о . Теорема Мёиье связ ы в а е т ъ рад.усъ К. наислонпаго сечения поверхности с ъ п о р м а л ь н ы м ъ с е ч е ш е м ъ , и м в ю щ и м ъ ту-же касательную, что и на­ клонное, теорема же Эйлера д а е т ъ возмож­ ность свести наследование К. н о р м а л ь н ы х ъ сечений к ъ определению рад1усовъ К. г л а в п ы х е п о р м а л ь п ы х е сечений, т. е. нроходящ и х е ч е р е з ъ главньш оси ппднкатрисы. Если передвигать точку Р но поверхности F в е и а п р а в л е ш я х ъ наибольшей пли н а и ­ меньшей К., то ч е р е з ъ каждое положение Р пройдутъ д в е в з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы я к р и в ы я К. (см. рис.), совокупность кото­ р ы х ъ покроете поверхность сетью в з а и м н о н е р н е п д и к у л я р н ы х ъ п е р е с е к а ю щ и х с я кри­ выхъ п, т а к п м ъ образомъ, р а з д е л и т ь эту поверхность п а безкопечно м а л ы е плосгае прямоугольники. Д л я поверхностей 2 по­ р я д к а и д л я всЪхъ поверхностей вращения эти прямоугольники обратятся в ъ квадра­ ты. Г а у с с ъ д а л ъ д л я К. поверхностей определение, близкое к ъ определению К. к р и в ы х ъ . Если мы оиояш е м ъ точ1су Р беаконечно малою замкнутою лин.ею 1, лежащею н а той-же поверх­ ности, что и Р , и в м е щ а ю ­ щею в ъ с е б е э л е м е н т е по­ верхности а, и о п и ш е м ъ около произвольной точки М сферу радйусомъ р а в н ы м ъ единице, то пересе­ чения радиусовъ, проведепп ы х ъ ч е р е з ъ М параллельно в с е м ъ н о р м а л я м ъ к ъ даппой поверхности, взяты мъ по коптуру I , со сферою о п р е д е ­ л я т ь н а ней поверхностный э л е м е н т е т; Г а у с с ъ н а з в а л ъ т : о п о л н о и о К, поверхности в ъ Р, п р и ч е м ъ положил !) ее равною 1 : тг ; это п о с л е д н е е выражение (1 : гг ) называется теперь Гауссовою К. поверхности. Иногда, впрочемъ, при и з е л е д о в а п ш поверхностей разематрпвается с р е д н я я К., т. е. среднее арпеметическое и з ь наибольшей и наимень­ шей К. и л и '/Й 4- -Д ИзслЪдоваше воз­ можности развертываипя одной иоверхпости на другой, безъ с к л а д о к ъ и б е з ъ р а з р ы в а основано на раэсмотрЪши Гауссовой К. Въ то время, к а к ъ э т а п о с л е д н я я играетъ огромпую роль въ гсометрш, средпяя К. и м е е т ъ большое применение в ъ математи­ ческой ф и з и к е . I?g>i«jnoc в з е р о , мест. Подол. губ-, Б а л т с к . у., при р. Кобыме; жит. б о л е е 4 тыс., потомки запорожск. коэак.; правосл., катол церкви, синагога, 2 ппсолы; значит, торг. на ежепед. б а з а р а х ъ с ъ постоянн. S л а в к а м и . 2 2 г 2