* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

426 На Деформация цилиндров при переменной по длине нагрузке цилиндрических поверхностях (внутренней р= = k и наружной р = 1) должны выполняться граничные условия, т. е. напря­ жения о> и должны равняться заданным поверхностным силам: т г при р — k o = —р (?). r г x rz = t j (?): ] (5) — т (?). J 2 при р = 1 о = —р (?), г 2 гг Также должны быть выполнены условия на торцовых поверхностях цилиндра: при z = 0 о — о (р), х — т (р); (6) при г = / <т = а/ (р), т = т/ (р) г 0 гг 0 г г г Исключая из уравнений (4) перемещения и и до, получим два урав­ нения совместности деформаций, выраженные через напряжения (1 + v) (Or-G ) t + vp-^- (Or 4- o ) z - P ^ - 0; (7) d 2 P + (°< — > — *) + v o va V ~dj { ° г ~ ° r ~ V a , ) " 2 0 + ^ T ^ 0 & ( 8 ) Первое из этих уравнений является условием существования функ­ ции радиальных перемещений и, второе — условием существования функции осевых перемещений до. Система напряжений суО<а и т , удовлетворяющая уравнениям равновесия (1) и (2), уравнениям совместности деформаций (7) и (8) и граничным условиям, представляет собой точное решение задачи. Эта задача может быть сформулирована также в перемещениях. Для этого следует с помощью уравнений (4) выразить напряжения через перемещения и подставить в уравнения равновесия. Таким способом будут получены два уравнения в частных производных относительно перемещений и и до. Рассматриваемая задача является весьма сложной и ее решения (кроме элементарных), точно удовлетворяющие всем граничным усло­ виям, неизвестны [ 5 1 . Если длина цилиндра велика по сравнению с его диаметром и напря­ женное состояние вблизи торцов не является предметом исследования, условия па торцах достаточно удовлетворить по Сен-Венану. В этом случае цилиндр можно рассматривать как имеющий беско­ нечную длину. Точное решение для бесконечно длинного сплошного цилиндра, нагруженного ступенчатым нормальным давлением на боковой поверх­ ности, получено в работе [ 9 ] . Используя метод суперпозиции, это реше­ ние можно использовать для расчета сплошного цилиндра при нор­ мальной нагрузке, произвольно изменяющейся по длине. В работах [5, 71 рассмотрены так называемые однородные решения для сплошного цилиндра, т. е. решения, соответствующие загружению осесимметричной нагрузкой торцов цилиндра при свободной боковой его поверхности. 2 гг