* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Общие теоремы. Вариационные методы решения 31 только действительные перемещения сообщают минимум потенциаль­ ной энергии системы П = j W dV — j (Хи + К с + Zw) dV~ — f (X u n + Y v + Z w) dS = m i n . n n (23) Кинематически возможные перемещения непрерывны и удовлетво­ ряют заданным граничным геометрическим условиям. Здесь имеет место абсолютный минимум. Это вариационное уравнение эквивалентно дифференциальным уравнениям равновесия [(12) гл. 1] и условиям равновесия (19) на по­ верхности тела. Это уравнение является следствием начала возможных перемещений. Принцип Кастнльяно (принцип минимума дли напряжений). Из всех систем напряжений, находящихся в равновесии с заданными объемными и поверхностными силами, только действительная система напряжений сообщает минимум дополнительной работе W dV — |& (Х и v s п u + Yv + n Z w) dS = m i n , n (24) Поверхностный интеграл берут по той части поверхности, на которой заданы перемещения. Если рассматривают первую основную задачу (S = 0) или на S смещения равны нулю (опоры), то реализуется ми­ нимум потенциальной энергии тела u u ? = f V dV= min. (25) Вариационное уравнение Кастнльяно эквивалентно условиям сплош­ ности. Теорема Кастнльяно. Если на тело действуют обобщенные сосре­ доточенные нагрузки Qi (i = I , 2, 3, - < . ) , а на S смещения равны нулю (опоры), то u dQi^ & 4i { Щ где qi—обобщенные перемещения, Принцип Гамильтона. Пусть упругое тело находится в состоянии движения; его действительное движение характеризуется перемеще­ ниями и, v, w. Сравнивая это поле перемещений с близким кинемати­ чески возможным полем и + б « , v + 6v w — 6w таким, что бы = bv = — &w = 0 для заданных моментов времени / и l , можно показать, t 0 i &i _ что для действительного движения интеграл J (Т — Л -г tf } dt при* к, ннмает экстремальное значение, т. е. 7 б j ( Г — А + W) dt ^ О, (27)