* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.2] § 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 229 2. В силу теоремы 2 п. 3.1 для почти-периодичности функции f(s) в любой полосе [а Pi] (а < [ i <С Pi ^ Р) достаточно, чтобы она была ограничена в этой полосе и почти-периодична хотя бы на одной прямой внутри полосы. Можно указать другой интересный признак почти-периодичности функции в полосе, в условия которого ограниченность функции в полосе не входит. a 1( Т е о р е м а 6. Пусть F^удовлетворяет следующим условиям: 1) регулярна в полосе (a, р), 2) непрерывна в полосе [а, р] и 3) на прямых а = а и а = р F(s)—равномерная е * (а=а, п.-п. функция переменной t с рядом Фурье ^А e Afl<3 гкп п а = (3). При выполнении этих условий F(s) является функцией в полосе [а, р] с рядом Дирихле п.-п. Теорема 7. Пусть дан ряд Ц^" a 5 (3.2) п П с отрицательными показателями Дирихле (А <^ 0). Предявляется положим, что для некоторого о = а ряд (3.2) Тогда существует п.-п. рядом Фурье п.-п. функции f (t). в полосе (а, -- оо) и непрерывная в полосе [а, -{- оо) функция, f (t) Которая на прямой о = а совпадает с функцией имеет своим рядом Дирихле ряд (3.2) и при а —» -J- оо стремится к нулю равномерно по t. Т е о р е м а 8. Пусть f(s) ^ ^]А g V есть п.-п. функa t п ция в полосе (a, Р), причем все Л „ < ^ 0 . Тогда /(«) — п.-п. функция в полосе (a, -f-oo) и стремится к нулю равномерно по t. З а м е ч а н и е . Аналогичные теоремы имеют место для рядов с исключительно положительными показателями Дирихле. С л е д с т в и е . Если показатели Дирихле п.-п. функции в некоторой полосе (a, Р) ограничены, то эта функция — целая аналитическая. 3. В силу теоремы 8 аналитическая п.-п. функция с отрицательными показателями Дирихле при a —+ -(- оо равномерно стремится к нулю и, следовательно, ограничена (при a —> -f- оо). 8 Р. С Гутер и д р .