* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

200 ГЛ. I I I . ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [1.2 Легко показать, что если /(лг) — почти-периодическая, но не периодическая функция, то при е —• 0 / (е) —> + со. Равномерные п.-п. функции называются также п.-п. функциями Бора. 2. О п р е д е л е н и е 4. Множество функцйй М = {/(•#)}, каждая из которых определена на всей числовой оси, называется условно компактным, если из каждой бесконечной последовательности f (лг), Д (лг), . . . , / „ (лг), . . . , принадлежащей множеству М можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся равномерно на всей числовой оси. О п р е д е л е н и е 5. Функция /(лг) называется п.-п. (в смысле Бохнера если семейство АУНКНИЙ f(x~-h)(—оо<" <^h<^oo) условно компактно (т. е. если из каждой беско. . . можно нечной последовательности f(x--h{)y f(x-{-h выбрать подпоследовательность, сходящуюся равномерно на всей числовой оси). Т е о р е м а 1 (Б о х н е р ) . В случае непрерывных функx у 2 ций классы п.-п. функций Бора и Бохнера совпадают. 1.2. Простейшие основные свойства п.-п. функций. В этом параграфе перечислены простейшие свойства п.-п. функций. Некоторые из этих свойств прямо следуют из определения, а некоторые нуждаются в доказательствах, иногда не простых. 1) Если /(лг) — равномерная п.-п. функция, то а/(лг) и /(лг --с) (с — действительное число, а — комплексное) — также равномерные п.-п. функции. 2) Если /(ЛГ)—равномерная п.-п. функция, то |/( 0|— также равномерная п.-п. функция (это следует из элементар!/(•* +*0—/0*0 !)• ного неравенства ||/(лг + &0| — 3) Если /(ЛГ) равномерная п.-п. функция и м — СО < X |/(*)|= >а т < 00 то 1 / / ( х ) — также равномерная п.-п. функция. Имеет место более общее утверждение. Обозначим через Е множество значений п.-п. функции f(x). Если функция F(z) на множестве Е равномерно непрерывна, то F[f(x)] — равномерная п.-п. функция. 4) Равномерная п.-п. функция ограничена на всей числовой прямой.