* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

164 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [4.2 Т е о р е м а 5 (Ш. В а л л е - П у с с е н ) . Пусть f[x) g С!*, тогда последовательность ее интегралов Валле-Пуссена {•/«(•*> /)} равномерно на всей числовой оси сходится к функции f{x) при этом имеет место оценка 1Л(*Л-/(*)1«Зс»( *=;/). И. П. Натансон исследовал асимптотическое поведение отклонений интеграла Валле-Пуссена в целом от функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Для удобства формулировки положим по определению LipJia = Hjp ( ) при 0 < ^ а < ^ 1 . Т е о р е м а б (И. П. Н а т а н с о н ) . sup max ] J ( г , / ) - / ( * ) = ~ n V (1±Л + О Ш . Интеграл Валле-Пуссена хотя и приближает любую непрерывную функцию, но в целом с довольно плохой точностью (по сравнению с другими методами, например, посредством многочленов наилучшего приближения), подобно тому как это имеет место для многочленов Бернштейна или для сумм Фейера. Именно, можно показать, что никакое улучшение гладкости функций, например увеличение показателя г для класне приводит в целом для этого класса к более высосов кому порядку убывания вышеуказанной величины, чем /п. Пусть, как и раньше, S (x; f) — суммы Фурье функции f(x). Положим n Bi(x где а > 0 д / ) = 4 [ s „ ( * - « * ; . (л = 1, 2, . . . ) и Н т а„ = 0. -> со f)l Приближение периодических функций тригонометрическими приближением многочленами В%(х; / ) , называемое обычно изучалось в рабопо методу Бернштейна — Рогозинского, тах В. Рогозинского, С. Н. Бернштейна, Л. Ф. Тимана, С. Б. Стечкина, Ф. И. Харшиладзе и др. Отметим, например, следующий результат [11]: Теорема 7. Пусть f(x) | ? Сг** и а = ^_|_ ^, тогда п 2 Ха I В% (х; /) —f(x) (2* + 1) Е (/) + со ; /).