* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

4.2] § 4. МЕТОДЫ РАВНОМЕРНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 163 тогда sup max I / I о„ л // м 2ЛПпя , / 1 п я / ) — f(x) | = - — — + О л /? Lip^I - c o < * < c o ™ Любопытно отметить, что при рассмотрении классов более гладких функций, например классов М при г ^> 1, верхняя грань отклонений сумм Фейера п-ro порядка от соответствующих функций не улучшается и не может иметь порядок более высокий, чем 1 /п. Это видно уже из того, что для целой г ) функции f(x)= 1 — cos х = 2sin у 2 имеем те/2 Суммы вида I/ , — $ { / ) ~ ~ •»• Ч~ S/t+p-i Г /) называются суммами л п Валле-Пуссена л (л, р)-го порядка для функции / ( х ) . Мы рассмотрим простейший случай р = п и будем писать У ( л г ; / ) = 1 / ( л г ; / ) . Если функция /(лг) является тригонометрическим многочленом степени т, то при сумма Валле-Пуссена V„(лг; / ) совпадает с /(лг) (этим п^т свойством, очевидно, обладают суммы Фурье, но не обладают суммы Фейера). Кроме того, имеет место неравенство |V„Cr,/)|< Теорема Зтах |/(*)|, ДлОеСз*. Пусть /(лг) Q С* . п — со<лг<со 4 (Ш. В а л л е - П у с с е н ) . V {x n Тогда / ) - / М | < 4 ^ Й Пусть функция /(лг) суммируема на отрезке [— тс, тс], интеграл у » (*: />=(2^щ s J ДО ° — те c n s i "^ * называется сингулярным интегралом Валле-Пуссена п-го порядка для функции/(лг). Функция J {x f) является тригонометрическим многочленом степени не выше п. 6*