* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.8] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 153 Обратно, если функция F(z) аналитична внутри эллипса с фокусами в точках а и b и имеет особую точку на его контуре, то ее наилучшее приближение E<^ (F) на n отрезке [а, Ь] удовлетворяет условию (3.16), где /? есть сумма полуосей указанного эллипса. Для некоторых классов непериодических функций f(x), а также для некоторых индивидуальных функций удается установить не только порядок убывания наилучших приблино и их точное или асимптотическое знажений Es$ (f), чение. Рассмотрим сначала эту задачу для индивидуальной функции f(x) и укажем на примере одной теоремы С. М. Никольского, как определяется асимптотическое значение Е^ (/) по индивидуальным свойствам функции f(x). Кстати, до сих пор мы еще не рассматривали задач такого типа. С. Н. Бернштейном было показано, что при любом ? ^ > 0 существует конечный предел n п lira n En k (x ) = ]x (k), k т. е. Т е о р е м а 8 (С. М. Н и к о л ь с к и й ) . Пусть k — нечетное число, f(x)^C ~ [—l, 1], производная f ~ (х) абсолютно непрерывна на [— 1, 1] *), производная (х) имеет на отрезке [—1, 1] только разрывы первого рода, и существует хотя бы одно лг ? (— 1, 1) такое, что / (*о + ° ) ^ / ( * о — 0). Тогда {k l) k l) 0 ( А ) ( А ) оо, где х = max | / - 1 S^XiZ 1 ( f t ) ( * + 0 ) — f {* {k) — 0)1(1— л; ) • 2 2 *) Значит, ная / (лг). < А ) почти всюду на [— 1, 1J существует произвол