* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

152 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И .ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.8 тогда функция f(x)^C[a, bj бесконечно непрерывно дифференцируема на интервале (а, Ь). В теореме 5 утверждается лишь дифференцируемость на интервале {а, Ь), поэтому она не является полным обращением теоремы 4. Перейдем к характеристике аналитических функций с помощью наилучших приближений. Функция /(лг), определенная на отрезке [а, Ь], называется аналитической на этом отрезке, если для каждой точки лг этого отрезка существует окрестность (лг — 8, JC —j- S), в которой функция /(лг) представима в виде степенного ряда, т. е. 0 0 0 оо J V~/ ?j n= 0 V U/ V~ v «~07> v?Z/v й v I R п г л ил Совокупность всех функций, аналитических на отрезке [а, Ь], будем обозначать через А [а, Ь]. Т е о р е м а б (С. Н. Б е р н ш т е й н ) . Для того чтобы /(лг) принадлежала А [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство S r . (/)<**". где k и q<^—некоторые Условие же постоянные. lim У % Д Л = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы функция /(лг) была целой функцией. В терминах теории функций комплексного переменного свойства наилучших приближений аналитических функций выражаются следующим образом: Т е о р е м а 7 (С. Н. Б е р н ш т е й н ) . Пусть f[x)^C[a,b и ш УЩл=х (R > 1); (з. 1 б) тогда существует функция F(z), аналитическая внутри эллипса с фокусами в точках а и b и с суммой полуосей R> имеющая особую точку на его контуре и совпадающая с f(x) на отрезке [а, Ь].