* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

142 ГЛ. И. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.7 методу на подборе некоторой поправки, улучшающей выбранное a priori приближение, другие — на совсем других идеях, связанных, например, с приближениями функций в среднем. Все эти вопросы подробно освещены в монографиях [15J, [18] и [20]. 3.7. Наилучшие приближения непрерывных и дифференцируемых периодических функций тригонометрическими многочленами данной степени. Мы перейдем теперь к изучению влияния тех или иных свойств непрерывной функции fix) на скорость стремления к нулю ее наилучших [приближений Ею ( / ) или, в периодическом случае, Е% ( / ) . Нач¬ нем с периодического случая. Пусть С%, как и раньше,— класс непрерывных периодических периода 2тс функций. Т е о р е м а 1 (Д. Д ж е к с о н ) . Пусть функция f(x) ? С*« имеет k непрерывных производных, и пусть ш (8; p ) — модуль непрерывности k-й производной f (x). Тогда k) {k) где с — некоторая постоянная, зависящая только от k. При доказательствах подобных теорем фундаментальное значение имеют интегральные представления вида 74*) = Kn (t-x)f{t)dt п — я для тригонометрических многочленов Т(х)х~% , достаточно точно аппроксимирующих данную функцию f (x) (см. также п. 4.2). Впрочем, подобные конструкции представляют и самостоятельный интерес. В качестве примера отметим один из результатов этого типа (из него, в частности, непосредственно вытекает теорема 1 при & = 0). Пусть f{x)^ C|it, и пусть а) (8; / ) — модуль непрерывности функции fix). Тогда функция sm T n{t — х W— 2ш (2n + 1) 2 f(t) dt •т —е sin