* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

134 ГЛ. И . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.4 вопрос о том, как найти среди всех многочленов данной степени многочлен, который наименее уклоняется от данной функции, и даже вопрос об его существовании. Проблема о многочленах, наименее уклоняющихся от данной функции, была впервые поставлена и исследована более столетия тому назад, в 1853 г., великим русским математиком П. Л. Чебышевым *), который с полным правом и считается основателем теории приближения функций. Т е о р е м а (Э. Б о р е л ь). Пусть f(x)(~ С [а, Ь]. Тогда для любого # = 0, 1, 2,... существует многочлен Р(х)?9$ такой, что = E%(/)**). (ЗЛ) max P(x)-f(x) п Многочлен Р(х), указанный в теореме Бореля, т . е . обладающий свойством (3.41), называется многочленом наилучшего приближения функции f(x). Можно показать, что в классе ф многочлен наилучшего приближения функции /(х) единствен. Определим наилучшее приближение периодических функций с помощью тригонометрических многочленов данной степени. Если % , п = 0, 1, . . . — с о в о к у п н о с т ь тригонометрических многочленов степени не выше п (см. п. 2.2), то для каждой периодической периода 2iz функции f(x) величина л п Е (/) х = inf sup (x)~f(x) T называется наилучшим приближением функции f(x) тригонометрическими многочленами степени не выше и. Как и в непериодическом случае, при любом фиксированном п = = г 0 , 1 , . . . для всякой функции f(x) ? С *с всегда существует, 2т и притом единственный, тригонометрический многочлен Т(х) ? % такой, что п max -со<*<оо | T{x)—f{x)=E (f). % " Этот многочлен называется тригонометрическим много¬ членом наилучшего приближения функции f(x) в классе % . п *) Ч е б ы ш е в П. Л., Теория механизмов, известных под именем параллелограммов, 1853 г. Полное собрание сочинений, т. I I . М.—Л., 1947. **) Определение (/) см. на стр. 119.