* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.1] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 129 Указанный многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом Абеля — Гончарова. Как и в о в с е х интерполяционных задачах, з д е с ь п р е ж д е в с е г о возникает в о п р о с о б условиях, при к о т о р ы х интерполяционные многочлены Р(х) с х о д я т с я к функции f(x) п р и п—+оо. Оказывается, что как по методам решения э т о й задачи, так и п о классам ф у н к ций f(x), для к о т о р ы х эта задача и е е о б о б щ е н и я п р е д с т а в ляют интерес, е е е с т е с т в е н н о рассматривать в рамках т е о р и и функций к о м п л е к с н о г о п е р е м е н н о г о . Б о л е е т о г о , интерполяционный п р о ц е с с А б е л я — Гончарова оказывается т е с н о связанным с р я д о м д р у г и х свойств аналитических функций. О б щ у ю задачу интерполирования функций f(x) (одного или нескольких переменных ) н е к о т о р о г о класса % с п о м о щ ь ю функций класса © м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь с л е д у ю щ и м о б р а зом: з а д а н о к о н е ч н о е (иногда с ч е т н о е ) число линейных ф у н к ционалов Uk, ? = 1 , 2 , о п р е д е л е н н ы х как для функций класса так и для функций класса © ; т р е б у е т с я д л я д а н ной функции / ( х ) ? g найти т а к у ю ф у н к ц и ю g (x) ? ©, чтобы 0 0 иш к = иш> k=, 2,... П р и этом, конечно, представляет б о л ь ш о й интерес оценка разности / ( ) — g C 0 b* п р о и з в о л ь н ы х значений аргумента х; э т о м у в о п р о с у были посвящены пп. 2.4 и 2.5. Иногда определение « б л и з о с т и » функций f(x) (~ S g(x) ? ® не м о ж е т быть в ы р а ж е н о как равенство к о н е ч н о г о или с ч е т н о г о числа ф у н к ц и о н а л о в , а в е е о п р е д е л е н и и участвуют в с е значения аргумента из области о п р е д е л е н и я функ ций f(x) и g(x). П р и э т о м ставится в о п р о с о б отыскании функции g(x) (5 ®> лишь п р и б л и ж а ю щ е й ф у н к ц и ю f(x) ? 3 с т о й или иной степенью точности. З д е с ь мы имеем д е л о с типичной задачей с о б с т в е н н о приближения функций, к о т о р а я б у д е т рассмотрена в с л е д у ю щ и х параграфах. и § 3. Равномерные приближения функций одного переменного многочленами и их обобщения 3.1. Общие замечания о приближении функций. З а д а ч у приближения функций и н т е р е с н о изучать и д л я ц е л ы х класЭ т о значит, что исследуемая функция сов функций f(x). f{x) описывается какими-либо своими о б щ и м и свойствами; 5 Р. С. Гутер и др.