* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

124 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [2.4 Т е о р е м а 9 (Л. Ф е й е р ) . Пусть функция /{^определена на отрезке [а, Ь] и удовлетворяет условию Гёльдера ^ 1 с показателем а р> у | / ( ^ ) _ / ( ^ ) | < Ж | У — х в \ где М — постоянная, х& ? [a, b], х" ? [а, Ь]. Пусть, далее, матрица узлов интерполяции (2.21) нормальна и Р (х) — последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа, интерполирующих функцию fix) в соответствующих узлах матрицы (2.21). Тогда при любом к^>0 последовательность {Р (х)} равномерно сходится при п —* оо к функции fix) на отрезке [a -f- h, b — п]. Если же матрица (2.21) строго нормальна, то последовательность {Р (х)} равномерно сходится к функции f{x) на всем отрезке [а, Ь]. Т е о р е м а 10 ( Ф е й е р ) . Пусть fix) ? С [а, Ь], матрица узлов интерполяции (2.21) нормальна и Q (•#) G является эрмитовым интерполяционным многочленом, удовлетворяющим условию п п п 1 n Qn i kn) —f( kn)> x x Qn i kn) —f ( kn)> x x k= 1, 2, . . . , n, n= 1, 2, . . . n Тогда для любого h^>0 последовательность {Q ix) равномерно сходится к функции f{x) на отрезке [а — /г, — ( Ь — /г]. Если же матрица (2.21) строго нормальна, то последовательность { Q ix)} сходится равномерно к функции fix) на всем отрезке [а, Ь]. n Мы рассмотрели некоторые критерии сходимости интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита, связанные с теми или иными ограничениями на классы • интерполируемых функций. В заключение отметим, что существуют методы интерполяции, обеспечивающие сходимость соответствующих интерполяционных многочленов для любой наперед заданной непрерывной функции. Эти методы связаны с введением интерполяционных многочленов достаточно большой степени по сравнению с числом узлов интерполяции. Отметим в качестве примера следующую теорему.