* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

118 и ГЛ. I I ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [2.4 а я й» й пусть P (х) — интерполяционный k многочлен такой, что HV/*)=/ V/*), ( i = 0, 1, a.j —1, k / = 1, 2, . . . , n , k k=, 2, . . . Тогда, если при k—+oo число узлов интерполяции неограниченно растет, т. е, n —* оо, то последовательность P (x) равномерно сходится на отрезке [а, Ь] к функции f(x). Отметим, что для функции, про которую только известно, что она непрерывна, вообще говоря, нельзя гарантировать сходимость к ней последовательности ее интерполирующих многочленов при увеличении числа узлов. В качестве примера подобного утверждения отметим следующую теорему. Т е о р е м а 2 (С. Н. Б е р н ш т е й н ) . Пусть Р (х) — интерполяционный многочлен, интерполирующий функцию х на отрезке [ — 1 , 1] в п равноотстоящих узлах (см. п. 2.1). Тогда последовательность многочленов Р (х) не сходится к функции х ни в одной точке отрезка [ — 1 , 1], кроме точек—1, 0, 1, в которых сходится к соответствующим значениям х. Другие отрицательные результаты, относящиеся к вопросу сходимости интерполяционных процессов, можно найти, например, в [7], [11]. Мы же рассмотрим здесь, наоборот, некоторые из положительных результатов этого направления. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы п точек k k п п Х, ..., х. п (2.16) Положим hl*)=jj К= :? 1 l&*(*H ^ шах Х„(*), *) Символ (о (х) определен в (2.15).